前言：
我们先来了解一下概念：
- 欧拉通路：通过图中所有边一次且仅一次行遍所有顶点的通路
- 欧拉回路：通过图中所有边一次且仅一次行遍所有顶点的回路
- 欧拉图：具有欧拉回路的图
- 半欧拉图：具有欧拉通路而无欧拉回路的图
- 奇度点：与点相连的边的数目为奇数的点
- 偶度点：与点相连的边的数目为偶数的点
判定
无向图
-
欧拉通路：图是连通的，图中只有两个奇度点，分别是欧拉通路的两个端点（就是起点和终点），对于欧拉通路，除起点、终点外，每个点如果进入，显然一定要出去，因此都是偶点
-
欧拉回路：图是连通的，点均为偶度点，对于欧拉回路，每个点进入、出去的次数相等，因此没有奇点
-
无向图中不考虑初度和入度，直接归为 ‘度’
有向图
-
欧拉通路：图是连通的，除两顶点外其余点的入度等于出度，这里我们可以设置出度为-1，入度为1，那么除了起点和终点外，其它点的度数为0；起点的度数就为-1，终点的度数就为1；
-
欧拉回路：图是连通的，图中所有点的入度等于出度，同样我们设出度为-1，入度为1，那么所有的点的度数均为0。
欧拉回路包含着欧拉通路，这点要知晓！！！！！
做题步骤：
- 首先应该根据题意是否判断图是连通的，即所有点是否在一个图上，这里可以用并查集来判断图是不是连通的。
- 然后根据读入的边建立图，可以用链式前向星或者二维矩阵建图，然后记录点的度数来判断是不是欧拉回路或者欧拉通路。
- 如果题目还要求路径，那么可以用递归版本dfs来求，或者非递归版本，后面的例题中会讲到。
并查集判断无向图中是否存在欧拉回路
例题集合
例题一：并查集判断无向图中是否存在欧拉回路
当给出一个无向图时，若要求判断图中是否存在欧拉回路，可以使用并查集判断图是否连通，并统计每个节点的度数，依次来判断是否存在。
若图连通且所有点的度数为偶数，则说明该无向图中存在欧拉回路。
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<queue>
#include<iomanip>
using namespace std;
const int N = 1010;
const int M = 1e5+10;
int head[N],to[M],nex[M],idx;
int du[N];
int fa[N];
void add(int x,int y){
nex[++idx] = head[x];
to[idx] = y;
head[x] = idx;
++du[x];
}
int find(int u){
return fa[u]==u ? u : fa[u] = find(fa[u]);
}
void mergy(int x,int y){
int t1 = find(x);
int t2 = find(y);
if(t1!=t2){
fa[t1] = t2;
}
return ;
}
int main()
{
int n,m;
while(cin>>n && n ){
cin>>m;
memset(head,0,sizeof(head));
idx = 1;
memset(du,0,sizeof(du));
for(int i=1;i<=n;++i){
fa[i] = i;
}
int x,y;
for(int i=1;i<=m;++i){
cin>>x>>y;
add(x,y);
add(y,x);
mergy(x,y);
}
int sum = 0;
for(int i=1;i<=n;++i){
if(fa[i]==i){
sum++;
}
}
int flag = 0;
if(sum>1){
flag = 1;
}
else{
for(int i=1;i<=n;++i){
if(du[i]&1){
flag = 1;
break;
}
}
}
if(flag){
cout<<0<<endl;
}else{
cout<<1<<endl;
}
}
}
例题二：
思路：就用上面的步骤来解题即可。
# include <iostream>
# include <algorithm>
# include <stack>
using namespace std;
const int N = 50100,M = 10010;
int head[M],to[N*2],nex[N*2],idx;
int vis[N*2];
int path[N*2+1000],id=0;
void add(int x,int y){ //链式前向星建图
nex[++idx] = head[x]
to[idx] = y;
head[x] = idx;
}
int q[N*2+1000],top=0;
void eular(){ //这是非递归的版本
q[++top] =1; //第一步让你的起点入栈，这里的起点设置1 ，这是题目要求的
while(top>0){ //如果没要求的话，随你设置，得到就是从起点x到终点x的路径
int t = q[top]; //注意，我们得到是反向的路径，即终点到起点，因为是栈
int i = head[t]; //取出头，但不去掉头
while(i && vis[i]) i = nex[i]; //找到当前点未被访问过的边
if(i){
vis[i] = 1; //设置当前边已访问过
//vis[i^1] = 1 ; //如果是无向图，那么这句话就加上
head[t] = nex[i]; //更改当前点的下一条边的去向
q[++top] = to[i]; //入栈
}else{ //这里就是如果当前点连接的边已经全部遍历完，那么就出栈
top--;
path[++id] = t; //把路径放进数组里，然后输出
}
}
}
void dfs(int u){
for(int i=head[u];i;i=nex[i]){
if(!vis[i]){
vis[i] = 1;
vis[i^1] = 1;
dfs(to[i]);
}
}
cout<<u<<endl;
}
int main(void)
{
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=m;++i){
int x,y;
cin>>x>>y;
add(x,y); //这里是无向图，所以正反建一次
add(y,x);
}
eular();
for(int i=1;i<=id;++i){
cout<<path[i]<<endl;
}
return 0;
}
（摘录别人的博客，请点击！）
对于一般的单词首尾相连的问题，通常都是转化为有向图的欧拉通路问题。
例如：给出多个单词，问能不能将所有单词组成一个序列，序列的前一个单词的尾字母与后一个单词的头字母相同
如果把每个单词看出无向的边，那么最终求出的欧拉通路可能存在两个单词尾部和尾部相连的情况。
无向欧拉图打印欧拉通路/回路
输入保证一个有 n 个点，m 条边的具有欧拉回路或欧拉路径的无向图，要求打印出图的欧拉回路或通路。
如果要打印欧拉通路，输入的 start 一定要是起点之一，即：deg(start)=1，否则只是乱序打印图中所有的边。(无向图也是一样。)
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<stack>
#define N 1001
using namespace std;
int n,m;
int G[N][N];
bool vis[N][N];//vis[i][j]=1表示点i到j之间存在一条边
void euler(int x){//打印以x为起点的欧拉回路或通路
for(int y=1;y<=n;y++){
if(vis[x][y]||vis[y][x]){
vis[x][y]=0;//去掉x-y这条边
vis[y][x]=0;//去掉y-x这条边
euler(y);
//首尾相连逆序打印欧拉通路
//printf("%d %d\n",y,x);
}
}
//逆序打印欧拉回路
printf("%d ",x);
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++){
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
G[x][y]=1;
G[y][x]=1;
vis[x][y]=1;
vis[y][x]=1;
}
int start;
scanf("%d",&start);
euler(start);//打印以x为起点的欧拉回路或通路
return 0;
}