HDU 1878 欧拉回路
判断一个无向图是否有欧拉回路，两个充要条件：
- 每个点的度都是偶数。
- 图是连通图。
两个条件均满足则有欧拉回路。
一个模板题还不说清楚边数M的范围，害得我wa了几发，写题面的出来挨打。
AC代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+10,M=1e5+10;
bool vis[N];
int n,m,cnt,sum,head[N],d[N];
struct node
{
int to,next;
}e[M<<1];
void add(int x,int y)
{
e[cnt].to=y;
e[cnt].next=head[x];
head[x]=cnt++;
}
void add_edge(int x,int y)
{
add(x,y);
add(y,x);
}
bool dfs(int u)
{
vis[u]=1;
sum++;//搜索到的点的个数
for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if(vis[v])continue;
dfs(v);
}
}
bool judge()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
if(d[i]%2!=0)return 0;//所有点的度都必须为偶数
dfs(1);//搜索
if(sum<n)return 0;
return 1;//搜索到的点必须是n个才是连通图
}
void init()
{
sum=0;cnt=0;
memset(head,-1,sizeof(head));
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(d,0,sizeof(d));//记得初始化！
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
while(cin>>n&&n)
{
init();
cin>>m;
int x,y;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
cin>>x>>y;
d[x]++;
d[y]++;
add_edge(x,y);
}
printf("%d\n",judge());
}
return 0;
}
HDU 3018 Ant Trip
上一题是欧拉回路问题，就是问你一笔能不能画完整个图然后回到源点(每条边只能被走一次)。
现在这题是问你最少几笔能画完整个图，不一定要形成回路，通路也行，也就是问你有几个欧拉通路(我这里把欧拉回路看成是欧拉通路的一种特殊情况)。
DFS搜索连通分量，按照每个连通分量中所有点的度数分类，有三种情况：
- 只有一个孤立点(度为0)，直接跳过它
- 不存在奇数度的点，即所有的点全部为偶数度，说明有一条欧拉通路，ans++
- 存在奇数度的点，假设度数为奇数的点有n个，则有欧拉通路n/2个， ans+=n/2
解释一下第3点，对于每个连通分量，因为每两个奇度点需要一个人走，所以有n个奇度点就需要n/2个人走。
有意思的是，n/2向下取整，或者(n+1)/2向上取整，都能AC，是不是数据有问题？其实不是数据的问题。分析一下，初始没有连边的时候，所有点度数都为0，大家都是偶度点，然后开始连边，偶与偶连边<->奇与奇，偶与奇<->奇与偶，可以看到奇度点的个数n要么加减2，要么不变，说明度数为奇数的点一定是偶数个， 即n一定是偶数，n除以2也就不存在上下取整的问题。
这个结论很重要，之前离散数学推导过，我现在才发现原来自己忘记这个结论了，又重新推导了一遍。
证明度数为奇数的点一定是偶数个：给定一个无向图图G=(V,E),其中V表示顶点集合,E表示边集合.则有握手定理成立,即图中所有顶点的度数之和等于两倍的边数,换句话来说,所有顶点的度数之和一定是偶数.所以如果图中存在度数是奇数的顶点,那么为了保证所有点的度数之和为偶数,只能让这样的奇数度的点为偶数个.
AC代码：
（网上挺多人用并查集写的，我觉得那是想复杂了）
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10,M=2e5+10;
bool vis[N];
int n,m,cnt,num1,head[N],d[N];
struct node
{
int to,next;
}e[M<<1];
void add(int x,int y)
{
e[cnt].to=y;
e[cnt].next=head[x];
head[x]=cnt++;
}
void add_edge(int x,int y)
{
add(x,y);
add(y,x);
}
bool dfs(int u)
{
vis[u]=1;
if(d[u]%2!=0)num1++;
for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if(vis[v])continue;
dfs(v);
}
}
int get_ans()
{
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
num1=0;//在当前搜索的连通块中度为奇数的点的个数
if(!vis[i]&&d[i]!=0)//度数为0的孤立点或已被访问过的点不搜索
{
dfs(i);
if(num1==0)ans++;//所有点的度数均为偶数
else ans+=num1/2;//度数为奇数的点有num1个，则有欧拉通路num1/2个
}
}
return ans;
}
void init()
{
cnt=0;
memset(head,-1,sizeof(head));
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(d,0,sizeof(d));//记得初始化！
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
while(cin>>n>>m)
{
init();
int x,y;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
cin>>x>>y;
d[x]++;
d[y]++;
add_edge(x,y);
}
printf("%d\n",get_ans());
}
return 0;
}
