【训练题14：线性DP(经典题)】字串距离 | 洛谷P1279

字串距离 | 洛谷P1279

难度

$普及+/提高$
不是很难。
但是是线性DP的经典题，所以写一下 \sqrt{} ​

题意

• 扩展串：在原串的基础上，任意位置添加任意多个（或0个）空格之后形成的串。
• 两个字符串$A、B$的字串距离等于某对相同长度的扩展串 $A^{\prime }、B^{\prime }$ 的每一位字符的距离和的最小值。

两个字符的距离：

• 若是两个小写字母，则距离为他们的$ASCII$码的差的绝对值
• 若一个是空格一个是小写字母，则距离为给定的 $k$
• 若两个都是空格，则距离为0。

给定两个字符串，求出他们的字串距离。

数据范围

$|A|,|B|\le 2000$
$1\le k\le 100$

思路

• 画一下图，可以大概知道在最优情况下，肯定是一些字符配对，剩下的字符都和空格配对，这样才可以使得最后的答案尽可能小。
• 
• 这样，我们可能会想到一些线性DP的感觉，数据范围也提示了可以是 $O(|A|\times |B|)$的 $DP$ 做法。
• 容易想到，我们设 $dp[i][j]$ 表示 第一个字符串匹配到第 $i$ 位，第二个字符串匹配到第 $j$ 位所能得到的字串距离。
• 考虑转移。我们有三种简单的选择：

1. 配对这两个位置的字符。
2. 第一个串的第 $i$ 位的字符和空格匹配。
3. 第二个串的第 $j$ 位的字符和空格匹配
   即：
   $dp[i][j]=\{\begin{array}{l}dp[i-1][j-1]+dis(A_i,B_j)\\ dp[i-1][j]+k\\ dp[i][j-1]+k\end{array}$

注意的几个点，字符串尽量让下标从1开始。
初始化$dp[0][j]$ 以及 $dp[i][0]$ ，因为他们不会自己更新。

核心代码

时间复杂度 $O(|A|\times |B|)$

/*
 _            __   __          _          _
| |           \ \ / /         | |        (_)
| |__  _   _   \ V /__ _ _ __ | |     ___ _
| '_ \| | | |   \ // _` | '_ \| |    / _ \ |
| |_) | |_| |   | | (_| | | | | |___|  __/ |
|_.__/ \__, |   \_/\__,_|_| |_\_____/\___|_|
        __/ |
       |___/
*/
const int MAX = 2e3+50;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

string aa,bb;
int dp[MAX][MAX];
int main()
{
    
    
    int k;
    cin >> aa >> bb >> k;
    fill(dp[0],dp[0] + MAX * MAX,INF);
    aa = " " + aa;
    bb = " " + bb;
    dp[0][0] = 0;
    for(int i = 1;i < aa.size();++i)dp[i][0] = k * i;
    for(int i = 1;i < bb.size();++i)dp[0][i] = k * i;

    for(int i = 1;i < aa.size();++i){
    
    
        for(int j = 1;j < bb.size();++j){
    
    
            dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i-1][j-1] + abs(aa[i] - bb[j]));
            dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i][j-1] + k);
            dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i-1][j] + k);
        }
    }
    cout << dp[aa.size()-1][bb.size()-1];
    return 0;
}