GDKOI2021普及Day1学习笔记：数论基础

质数

质数这东西让我联想到了原子，一样不可拆分，所以我们说质数具有原子性。
我们设$\pi (x)$为不大于x的质数个数，可得$\pi (x)=O(\frac{x}{\ln (x)})$。

唯一分解定理

任何一个$N(N>1)$能被质数分解，且只有一种分解方式，即
$N=p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}\times \dots \dots \times p_m^{c_m}(N>1)$
其中$p_i$为素数，$c_i$为正整数，满足$p_1<p_2<\dots \dots <p_m$。

筛质数

可得：对于n，最多只有一个质因子大于$\sqrt{n}$。
证明：若两个质因子$a>\sqrt{n}，b>\sqrt{n}$。
           ~~~~~~~~~~           则$a\times b>n$（不成立），即原命题正确。

暴力试除法

根据上述结论我们对于一个数，只需要枚举$1$~$\sqrt{n}$即可，这里就不给代码了，时间复杂度$O(n\sqrt{n})$。

埃式筛法

枚举到一个质数，我们只需要将它的倍数全部标记即可，没被标记的就是质数，这里给出核心代码。

int prime[100005],flag[100005],tot;
void find(int n)
{
    
    
	for(int i=2;i<=n;i++)
		if(!flag[i])
		{
    
    
			flag[i]=1;
			prime[++tot]=i;
			for(int j=2;j<=n/i;j++)
				flag[i*j]=1;
		}
	for(int i=1;i<=tot;i++)
		printf("%d ",prime[i]);
}

欧拉筛法（线性筛法）

埃式筛法已经接近$O(n)$的复杂度了，但是优化的余地。
对于一个数，可能被多次标记，我们可以减少它们的次数，来达到优化的目的。
例如：30，它可以被分解成：
$30=2\times 15=3\times 10=5\times 6$。
根据上述的唯一分解定理，我们只需要用最小的质因子来分解。
例如：$30$分解成$30=2\times 15$。

int prime[100005],flag[100005],tot;
void find(int n)
{
    
    
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
    
    
		if(!flag[i]) prime[++tot]=i;
		for(int j=1;j<=tot&&prime[j]*i<=n;j++)
		{
    
    
			flag[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0) break;
		}
	}
	for(int i=1;i<=tot;i++)
		printf("%d ",prime[i]);
}

整除

令$a|b$表示a整除b，其中b是a的倍数，a是b的约数。

一些性质

1、若$d|a$，有$d|ka$。
2、对称性：若$a|b，b|a$，有$a=b$。
3、传递性：若$c|b，b|a$，则$c|a$。
4、若$c|a，d|b$，则$cd|ab$。
5、若$c|a，c|b$，则$c|(ma+nb)。$

约数

若$N=p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}\times \dots \dots \times p_m^{c_m}(N>1)$
其中$p_i$为素数，$c_i$为正整数，满足$p_1<p_2<\dots \dots <p_m$，
则$N$的正约数集合 { p 1 b 1 ， p 2 b 2 ， … … ， p m b m } \{p_1^{b_1}，p_2^{b_2}，……，p_m^{b_m}\} { p1b1​​，p2b2​​，……，pmbm​​}，其中$0\le b_i\le c_i$
由此可推出如下两条公式：
1、$N$的约数个数：${\prod }_{i=1}^m{c}_i+1$。
2、$N$的约数的和：${\prod }_{i=1}^m({\sum }_{j=0}^{c_j}(p_i{)}^j)$。

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最大公约数和最小公倍数

我们设$gcd(a,b)$为$a、b$的最大公约数。
$lcm(a,b)$为$a、b$的最下公倍数。

一些性质

1、若$a|m，b|m$，则$lcm(a,b)|m$。
2、若$d|a，d|b$，则$d|gcd(a,b)$。
3、正整数m,a,b，有$lcm(ma,mb)=m\times lcm(a,b)$
4、$a\times b=gcd(a,b)\times lcm(a,b)$。

求$lcm(a,b)$和$gcd(a,b)$

interesting的方法

将a,b分解质因数，得：
$a=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times \dots \dots \times p_m^{a_m}$
$b=p_1^{b_1}\times p_2^{b_2}\times \dots \dots \times p_m^{b_m}$
那么$gcd(a,b)=p_1^{min(a_1,b_1)}\times p_2^{min(a_2,b_2)}\times \dots \dots \times p_m^{min(a_m,b_m)}$
$lcm(a,b)=p_1^{max(a_1,b_1)}\times p_2^{max(a_2,b_2)}\times \dots \dots \times p_m^{max(a_m,b_m)}$

欧几里得算法

$gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$。
我们可以根据这个求出$gcd(a,b)$。

更相减损法

$gcd(a,b)=gcd(b,a-b)=gcd(a,a-b)$。
$gcd(2a,2b)=2gcd(a,b)$。
根据上述可得$gcd(a,b)$。

互质

$gcd(a,b)=1$：a，b互质。
$gcd(a,b,c)=1$：a，b，c互质。
$gcd(a,b)=gcd(b,c)=gcd(a,c)=1$：三者两两互质。

欧拉函数

欧拉函数$\phi (n)$，表示$1$~$n$中与n互质的个数。
若$N=p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}\times \dots \dots \times p_m^{c_m}$，
其中$p_i$为素数，$c_i$为正整数，满足$p_1<p_2<\dots \dots <p_m$，
$\phi (n)=N\times \frac{p_1-1}{p_1}\times \frac{p_2-1}{p_2}\times \dots \dots \times \frac{p_m-1}{p_m}=N\times \prod (1-\frac{1}{p})$

一些性质

1、$\phi (1)=1$。
2、p是质数，$\phi (p)=p-1$。
3、p是质数，$n=p^k，\phi (n)=p^k-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}$。
4、$gcd(a,b)=1，\phi (ab)=\phi (a)\times \phi (b)$（积性函数）。
5、对于质数p，有
$n\%p=0，\phi (np)=\phi (n)\times p$。
$n\%p\ne 0，\phi (np)=\phi (n)\times (p-1)=\phi (n)\times \phi (p)$。
6、对于$n>1$，$1-n$中与n互质的数的和为$n\times \frac{\phi (n)}{2}$。
7、${\sum }_{d|n}\phi (d)=n$。

欧拉筛求欧拉函数

根据上述性质：
每次枚举出一个质数$i$，$ph{i}_i=i-1$。根据第5个性质，即可推出。

int prime[100005],flag[100005],phi[100005],tot;
void find(int n)
{
    
    
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
    
    
		if(!flag[i]) prime[++tot]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=tot&&prime[j]*i<=n;j++)
		{
    
    
			flag[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)
			{
    
    
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
				break;
			}
			else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		printf("%d ",phi[i]);
}

同余

用m除整数a,b余数相同，称a和b对模m同余，记作$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
两个概念：
1、标准剩余系，每个同余系的任意两个整数模m同余。
2、既约剩余系，每个同余系的任意整数与m互质。

一些性质1

1、$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，当且仅当$m|(a-b)$。
2、$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，当且仅当最在整数k，使得$a=b+km$

一些性质2

有整数a,b,c，自然数m,n
1、自反性：$a\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$。
2、对称性：若$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，则$b\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$。
3、传递性：
$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)，b\equiv c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)，a\equiv c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
4、同加性：$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)，a+c\equiv b+c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
5、同乘性：$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)，ac\equiv bc(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
6、同幂性：$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)，a^n\equiv b^n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
7、若$a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=x,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q=x,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(pq)=x$。p，q互质。

欧拉定理

若$gcd(a,n)=1$，则$a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$。
证明：设 S 1 = { r 1 , r 2 , … … , r φ ( n ) } S_1=\{r_1,r_2,……,r_{\varphi(n)}\} S1​={ r1​,r2​,……,rφ(n)​}为$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$的既约剩余系，
             S 2 = { a r 1 , a r 2 , … … , a r φ ( n ) } ~~~~~~~~~~~~S_2=\{ar_1,ar_2,……,ar_{\varphi(n)}\}             S2​={ ar1​,ar2​,……,arφ(n)​}为$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$的既约剩余系。
${\prod }_{i=1}^{\phi (n)}a{r}_i\equiv {\prod }_{i=1}^{\phi (n)}{r}_i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$
$a^{\phi (n)}{\prod }_{i=1}^{\phi (n)}{r}_i\equiv {\prod }_{i=1}^{\phi (n)}{r}_i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$
$n|(a^{\phi (n)}{\prod }_{i=1}^{\phi (n)}{r}_i-{\prod }_{i=1}^{\phi (n)}{r}_i)$
$\to n|(a^{\phi (n)}-1)\times {\prod }_{i=1}^{\phi (n)}{r}_i$ & $gcd(n,{\prod }_{i=1}^{\phi (n)}{r}_i)=1$
$\to n|(a^{\phi (n)}-1)$
$\to a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$。

费马小定理

若p为质数，a为整数，有$a^p\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
证明：
1、$gcd(a,p)=1\to a^{\phi (p)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
     ~~~~     得$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\to a^p\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$。
2、$gcd(a,p)\ne 1$，即a是p的倍数。
$a^p\%p=0，a\%p=0，$即$a^p\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$。

裴蜀定理（贝祖定理）

对于任意整数$a,b$，存在一组整数$x,y$，满足$ax+by=gcd(a,b)$
证明：设$d=gcd(a,b)$，则$a=d{a}^{{}^{\prime }},b=d{b}^{{}^{\prime }}$
得$ax+by=d{a}^{{}^{\prime }}x+d{b}^{{}^{\prime }}y=d(a^{{}^{\prime }}x+b^{{}^{\prime }}y)=d$，因为 $a^{{}^{\prime }},b^{{}^{\prime }},x,y$都是整数，所以只有$ax+by=gcd(a,b)$或是$gcd(a,b)$得倍数时有解。
解法：当$b=0$，有一组整数解$x=1,y=0$，使得$a\times 1+0\times 0=gcd(a,0)$。
           ~~~~~~~~~~           当$b>0$，$gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$，即$ax+by=b{x}^{{}^{\prime }}+(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)y^{{}^{\prime }}$，化简得$ax+by=b{x}^{{}^{\prime }}+(a-b\times \lfloor \frac{a}{b}\rfloor )y^{{}^{\prime }}$
$=a{y}^{{}^{\prime }}+b(x^{{}^{\prime }}-\frac{a}{b}{y}^{{}^{\prime }})$，另$x=y^{{}^{\prime }},y=x^{{}^{\prime }}-\frac{a}{b}{y}^{{}^{\prime }}$。

扩展欧几里得的通解

对于$ax+by=gcd(a,b)$，通过扩欧得出一组通解$x_0,y_0$。
得通解：$x=x_0+b÷gcd(a,b)\times t$
$y=y_0-a÷gcd(a,b)\times t$

最后祝大家GDKOI玩的开心！！！