数论大杂烩——From GDKOI2021 【数论基础】【学习笔记】

（可能有点乱）

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质数相关

· 质数的原子性：任何数分解完全都是质数，例：$12=2\times 2\times 3$。

· $Ln(x)=lo{g}_{e}x$

· n以内的质数个数约为：$\frac{n}{Ln(x)}$

· 算数基本定理：$N={p_1}^{c_1}\times {p_2}^{c_2}\times \dots \times {p_m}^{c_m}$ c为正整数，p为质数

· $n$ 以内只有一个质因子大于 $\sqrt{n}$
   ~~   证：设 $a>\sqrt{n},b>\sqrt{n},$
         ~~~~~~~~          $\therefore ab>n$，不成立

欧拉筛：

让每个数都只被筛一次，复杂度是 $O(n)$

Code

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,q,qs[6666666],c,prime[100000010];
bool v[100000010];
int main()
{
    
    
	for(int i=2; i<=10000000; i++)
	 {
    
    
	 	if(v[i]==0)
	 	  prime[++c]=i;
	 	for(int j=1; j<=c&&i*prime[j]<=10000000; j++)
	 	 {
    
    
	 	 	v[i*prime[j]]=1;
	 	 	if(i%prime[j]==0)
	 	 	  break;
		 }
	 }
	for(int i=1; i<=c; i++)
	   printf("%d\n",prime[qs[i]]);
	return 0;
}

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约数相关

· N的正约数个数为：${\prod }_{i=1}^{m}C(c_i+1)$

· N的正约数和为：${\prod }_{i=1}^m({\sum }_{j=0}^{c_i}(p_i{)}^j)$

· 求和方式：倍数法
  ~   设当前枚举到的数为 $2i$，则 $2i$ 的正约数数量 $=i$ 的所有正约数 $+i$ 的所有正约数$\times 2$,
  ~   以此类推到n，可大大优化时间复杂度。

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整除基础

· $a|b$ 表示 $a$ 是 $b$ 的约数，$a$ 能被 $b$ 整除。

性质

· 1️⃣若 $d|a$ ,   ~   则整数 $k$ 有 $d|ka$

· 2️⃣若 $a|b$ 且 $b|a$ , 则整数 $a=b$

· 3️⃣若 $c|a$ , $d|b$ 则 $cd|ab$

· 4️⃣若 $c|a$ , $d|b$则 $c|(ma+nb)$

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gcd 和 lcm 的性质

· 1️⃣若 $a|m$ , $b|m$ ,   ~   则 $lcm(a,b)|m$

· 2️⃣若 $d|a$ , $d|b$ ,   ~   则 $d|lcm(a,b)$

· 3️⃣设 $m,a,b$ 是正整数   ~  ,   ~   则 $lcm(ma,mb)=m\times lcm(a,b),a\times b=gcd(a,b)\times lcm(a,b)$

· 4️⃣求最大公约数：$gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$

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欧拉函数

· 定义 $1\to n$ 中与 $N$ 互质的数的个数，记作 $\phi (n)$。如：$\phi (10)=1,3,7,9=4$

· 欧拉函数是一个积性函数

· $\phi (n)=N\times \frac{p_1}{p_1-1}\times \frac{p_2}{p_2-1}\times \dots \dots \times \frac{p_m}{p_m-1}=N\times {\prod }_{p|N}(1-\frac{1/p}{1})$

性质

· 1️⃣ φ(1)=1

· 2️⃣当 $p$ 是质数时，$\phi (p)=p-1$

· 3️⃣当 $p$ 是质数时，对于 $n=p^k,\phi (n)=p^k-p^{(k-1)}=(p-1)\times p^{(k-1)}$

· 4️⃣对于 $gcd(a,b)=1,\phi (a\times b)=\phi (a)\times \phi (b)$

· 5️⃣对于质数 $p$ ,

1. 若 $n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=0,$ 则 $\phi (n\times p)=\phi (n)\times p$
2. 若 $n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p!=0,$ 则 $\phi (n\times p)=\phi (n)\times (p-1)$

· 6️⃣对于 $n>1$ , $1\to n$ 中与 $n$ 互质的数的和为 $n\times \frac{\phi (n)}{2}$

· 7️⃣${\sum }_{d|n}\phi (d)=n$

同余

定义及部分概念：

· 若 $a=q_{1}m+r_1,b=q_{2}m+r_2,r_1=r_2$

   ~~   则称 $a$ 与 $b$ 模 $m$ 同余，记作： $a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$

· 标准剩余系： $[0\to m-1]\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m$

· 既约剩余系： 未填充概念

定理

· 1️⃣$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，当且仅当 $m|(a-b)$

· 2️⃣$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，当且仅当存在整数 $k$，使得 $a=b+km$

性质

· 1️⃣ 自反性：$a\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$

· 2️⃣对称性：$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，则 $b\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$

· 3️⃣传递性：$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m),b\equiv c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m),$则$a\equiv c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$

· 4️⃣同加性：$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m),$则$a+c\equiv b+c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$

· 5️⃣同乘性：$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m),$则$a\times c\equiv b\times c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$

· 6️⃣同幂性：$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m),$则$a^n\equiv b^n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$

· 7️⃣$a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=x,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=x,q$和$p$互质，则 $a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(pq)=x$

· 8️⃣不满足 $a|n\equiv b|n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$

欧拉定理

若正整数 $a，n$ 互质，则 $a^{\varphi (n)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$,其中 $\varphi (n)$ 为欧拉函数。
例：当 $a=5,n=6$ 时,$gcd(5,6)=1,\varphi (6)=2,5^{\varphi (6)}=5^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)$

费马小定理

若 $p$ 是质数，则对于任意整数 $a$，有 $a^p\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

· $gcd(a,p)=1,a^p\equiv p(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
· $gcd(a,p)=1,a$是 $p$ 的倍数，$a^p\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=0\to a^p\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

裴蜀定理

对于任意整数 $a,b$,存在整数 $x,y$，满足 $ax+by=gcd(a,b)$
则 $a=d{a}^{\prime },b=d{b}^{\prime },ax+by=(d{a}^{\prime }x+d{b}^{\prime }y)=d(a^{\prime }x+b^{\prime }y)=d$

1️⃣当 $b=0$ 时,显然有整数 $x=1,y=0$ (不止),则 $a\times 1+0\times 0=gcd(a,0)$

2️⃣当 $b>0$ 时，则 $gcd(a,b)=gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$ 即 $ax+by=b{x}^{\prime }+(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)y^{\prime }$
     ~~~~     化简得 $ax+by=b{x}^{\prime }+(a-b\times a|b)y^{\prime }=a{y}^{\prime }+b(x^{\prime }-a|b{y}^{\prime })$

另 $x=y^{\prime },y=x^{\prime }-a|b\times y^{\prime }$ ,即为 $x,y$ 的解 $\to$ 扩展欧几里得⭐(特解)

拓展欧几里得

设 $x_0，y_0$ 是 $ax+by=gcd(a,b)$ 的一个特解，那么通解为：
$x=x_0+\frac{b}{gcd(a,b)\times t}$
$y=y_0+\frac{b}{gcd(a,b)\times t}$
(t为任意整数)

设 $b|gcd(a,b)=L,$ 则 $x=(x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}L+L)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}L$

线性同余方程

给定整数 $a,b,m$ ,求一个整数 $x$ 满足 $a\times x\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$ ,或给出无解。

· $a\times x\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$ 等价于 $m|(a\times x-b)$，即 $a\times x-ym=b$.

乘法逆元

定义

若整数 $b,m$ 互质，并且 $b|a$ ,则存在一个整数 $x$，使得 $a|b\equiv ax(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$ ，称 $x$ 为 $b$ 的模 $m$ 意义下的乘法逆元，
记为 $b^{-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$ ( $-1$ 只是一个记法，不是 $\frac{1}{b}$)

剩下的知识

中国剩余定理，扩展中国剩余定理等
视频