【NOIP2017提高A组集训10.25】嘟嘟噜

题面

Description

由于众所周知的原因, 冈部一直欠真由理一串香蕉.
为了封上真由理的嘴, 冈部承诺只要真由理回答出这个问题, 就给她买一车的香蕉:
一开始有n 个人围成一个圈, 从1 开始顺时针报数, 报出m 的人被机关处决. 然后下一个人再从1 开始报数, 直到只剩下一个人.
红莉栖: “这不就是约瑟夫问题吗…”
伦太郎: “助手你给我闭嘴!”
真由理虽然已经晕头转向了, 但听到有一车的香蕉, 两眼便放出了光芒.
“那个呢, 真由氏很想要一车子的香蕉呢. 如果可以帮帮我的话, 我可以把一些香蕉分给你哟, 诶嘿嘿. 拜托你啦.”

Input

第一行一个整数T, 表示数据组数.
接下来T 行, 每行两个整数n;m.

Output

对于每组数据, 输出一行一个整数, 表示幸存者的编号.

Sample Input

5
4 6
2 8
2 9
8 8
7 9

Sample Output

3
1
2
4
7

Data Constraint

思路

这道题就是经典的约瑟夫问题。

方法一：$O(Tnm)$

这种方法就是约瑟夫问题的纯暴力解法，在这里就不赘述了，可以自行研究一下。

方法二：$O(Tn)$

为了方便我们研究我们把它的编号定为$0$ ~ $n-1$。
如果我们设第$k$个人被踢出局（编号为$k-1$），则剩下的序列为：
$k,k+1,k+2\dots n-2,n-1\dots 0,1,2\dots$
将序列整体减$k$，并对负数加上$n$：
$0,1,2\dots ,n-3,n-2$
可以得出一个$n-1$阶的约瑟夫。由此我们可以得到一个递推，即：
$$an{s}_n=(an{s}_{n-1}+k)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$$

code

#include<cstdio>
#define fre(x) freopen(#x".in","r",stdin),freopen(#x".out","w",stdout)
int t,n,m;
int main()
{
    
    
//	fre(mayuri);
	scanf("%d",&t);
	for(int i=1;i<=t;i++)
	{
    
    
		scanf("%d%d",&n,&m);
		int ans=0;
		for(int j=1;j<=n;j++)
			ans=(ans+m)%j;
		printf("%d\n",ans+1);
	}
}

方法三：$O(Tm\log (n))$

我们会发现其实在方法二中$ans$不一定大于$j$，所以没有必要每次做。
我们知道$ans$每次加$m$，而$j$每次加1，问题就转换成：

已知：$ans+m$，$j+1$
求：什么时候$ans\ge j$

一个简单的追及问题，$t=\frac{s}{v}$，即$t=\frac{j-ans}{m-1}$，但由于整型向下取整，所以如果不能整除总数还要加一。

code

#include<cstdio>
#define fre(x) freopen(#x".in","r",stdin),freopen(#x".out","w",stdout)
int t,n,m;
int main()
{
    
    
//	fre(mayuri);
	scanf("%d",&t);
	for(int i=1;i<=t;i++)
	{
    
    
		scanf("%d%d",&n,&m);
		int ans=0,k=1,p;
		while(k<n)
		{
    
    
			p=(k-ans)/(m-1)+((k-ans)%(m-1)!=0);
			if(k+p>n) p=n-k;
			ans+=p*m;
			k+=p;
			ans%=k;
		}
		printf("%d\n",ans+1);
	}
}