平衡二叉树的定义

平衡二叉树又称：Self-Balancing Binary Search Tree 或
Height-Balanced Binary Search Tree：高度平衡的二叉排序树。
平衡二叉树：是一种二叉排序树，它的每一个节点的左子树和右子树的高度差小于等于一。
由两位俄罗斯数学家 G M Adelson-Velskii 和 E M Landis，于1962年共同发明解决平衡二叉树的算法。也称这样的平衡二叉树为AVL树。

简单分析以下二叉树是不是平衡二叉树（AVL树）

图1满足排序（中序遍历:35 47 58 62 88 93 99）要求；但第二层58 88两节点的左右子树高度差的绝对值大于1。所以图1不是AVL树。
图2满足每个节点左右子树高度差小于等于1；但是不满足排序要求，59 大于 58节点；所以，它也不是AVL树。
图3满足排序要求；但是节点58的左子树高度为2，右子树高度为0；所以，它不是平衡二叉树。
图4即满足排序要求，也满足每个节点左右子树高度差小于1的条件。故它是平衡二叉树或AVL树。

最小不平衡子树

最小不平衡子树：距离插入节点最近的，且平衡因子的绝对值大于1的节点为根的子树，就是最小不平衡子树。
比如：插入37时，58节点是距离它最近的平衡因子大于1的节点；那么，以58为根的子树，就是最小不平衡子树。
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平衡二叉树的实现原理

平衡二叉树的实现原理：平衡二叉树构建的思想是，每当插入节点时，先检查是否因为插入而破坏了树的平衡性，若是，则找出最小平衡树。在保持二叉排序树特性的条件下，调整最小不平衡树中各个节点之间的链接关系，进行旋转，使之成为新的平衡子树。

演示：操作实现数组a[10]= [3,2,1,4,5,6,7,10,9,8]的二叉平衡树：
首先，向树中插入节点的同时记录各节点的平衡因子。
平衡因子=左子树的深度-右子树的深度，深度等于树的层数
出现平衡因子大于1时，调整旋转最小不平衡子树的节点。
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插入节点1，节点3的平衡因子为2>1,调整整个子树右旋；插入节点4；

插入节点5，最近的3节点的平衡因子为-2，绝对值大于1.整个节点3子树左旋。

插入节点6,节点2的平衡因子为-2，整棵树是最小不平衡子树，左旋，4节点变成根，4的左子树变成节点2的右子树，达到平衡；
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插入节点7，节点5的平衡因子为-2，最小不平衡子树左旋；插入节点10；

插入节点9；节点7不平衡，此时应该左旋，但是9<10不能是10的右节点；
通过观察，前面插入节点，单纯地左旋和右旋是因为子树树根和左右孩子的平衡因子符号一致。故在此处需要调整平衡因子符号一致。将10，9 节点右旋。
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再将最小不平衡树左旋；插入节点8；

此时需要将6节点子树左旋，但节点9的平衡因子与节点6的符号不一致；将节点9子树右旋。

再将节点6子树左旋。
如此，便完成了一颗平衡二叉树的构建。