1 定义
平衡二叉树是一种二叉排序树，其中每个节点的左子树和右子树的高度差至多等于1。其中，二叉树节点的左子树深度减去右子树深度的值称为平衡因子（BF），因此平衡二叉树节点的平衡因子值只能为1、0或-1。距离插入节点最近的，且平衡因子的绝对值大于1的节点为根的子树，我们称为最小不平衡子树。
2 平衡二叉树的构建过程
平衡二叉树的构建过程基于二叉排序树的构建过程，在插入节点的过程中，一旦出现不平衡现象（即某节点的平衡因子大于1或小于-1），就找出最小不平衡子树，进行“旋转”操作，调整最小不平衡子树中各节点的链接关系，使之成为新的平衡子树。“旋转过程”就好比一条扁担出现一头重一头轻的现象，若能将扁担的支撑点改变，扁担两头就平衡了。
前人总结出在二叉排序树中插入节点而失去平衡的情况下，对最小不平衡子树进行调整，有4种“旋转”类型（LL型，RR型，LR型，RL型），分别对应不同的不平衡情况。其中LL型和RR型只需要一次旋转，而LR型和RL型则需要两次旋转。每种类型又可进一步细分为3种情况，总共4×3=12种情况
LL型（最小不平衡子树的根结点平衡因子值大于1且与根结点左孩子节点的平衡因子符号相同）
RR型（最小不平衡子树的根结点平衡因子值小于-1且与根结点右孩子节点的平衡因子符号相同）
LR型（最小不平衡子树的根结点平衡因子值大于1且与根结点左孩子节点的平衡因子符号不相同）
RL型（最小不平衡子树的根结点平衡因子值小于-1且与根结点右孩子节点的平衡因子符号不相同）
注意最小不平衡子树中节点的平衡因子值在旋转调整前后的变化，其中LL型和RR型平衡因子变化一致，而LR型和RL型则需分开讨论
3 代码
首先建立二叉树节点进行定义
function Node(key){
this.data = key; //存储数据
this.bf = 0; //平衡因子
this.lChild = null; //左孩子节点
this.rChild = null; //右孩子节点
}
接着是对不平衡子树中某一节点T的一次左旋和右旋操作函数代码，返回旋转后的新节点
//左旋
function L_Rotate(T){
let R = T.rChild;
T.rChild = R.lChild;
R.lChild = T;
return R;
}
//右旋
function R_Rotate(T){
let L = T.lChild;
T.lChild = L.rChild;
L.rChild = T;
return L;
}
现在我们假设对根结点为T的不平衡子树做左旋和右旋操作函数分别为LeftBalance(T)和RightBalance(T)，该函数返回新的根结点。那么平衡二叉树的插入操作代码如下
var taller = true;
var temp = null;
function insertAVL(T,key){ //插入节点至平衡二叉树
if (!T){ //节点不存在，则在此位置新建节点
T = new Node(key);
taller = true;
}else{
if (key === T.data){ //如果二叉树中已有与key相同的值，而不插入
taller = false;
return 0;
}else if (key < T.data){ //如果插入值小于当前节点值
temp = insertAVL(T.lChild,key); //则在当前节点的左子树继续搜索
if ( temp === 0) return 0; //未插入
T.lChild = temp;
if (taller){
switch (T.bf){ //在当前节点的左子树成功插入节点时
case 1: //原本左子树比右子树高，插入节点后，需要做平衡处理
T = leftBalance(T);
taller = false;
break;
case 0: //原本左子树和右子树一样高，插入节点后，树长高
T.bf = 1;
taller = true;
break;
case -1: //原本左子树比右子树矮，插入节点后，现左右树等高
T.bf = 0;
taller = false;
break;
}
}
}else{ //如果插入值大于当前节点值
temp = insertAVL(T.rChild,key); //则在当前节点的右子树继续搜索
if ( temp === 0) return 0; //未插入
T.rChild = temp;
if (taller){
switch (T.bf){ //在当前节点的右子树成功插入节点时
case 1: //原本左子树比右子树高，插入节点后，现左右树等高
T.bf = 0;
taller = false;
break;
case 0: //原本左子树和右子树一样高，插入节点后，树长高
T.bf = -1;
taller = true;
break;
case -1: //原本左子树比右子树矮，插入节点后，需要做平衡处理
T = rightBalance(T);
taller = false;
break;
}
}
}
}
return T;
}
最后一步，实现对根结点为T的不平衡子树的旋转操作，需要分情况讨论只用一次旋转还是要有两次旋转。
function leftBalance(T){ //对根结点为T的不平衡子树进行旋转调整操作
let lc = T.lChild; //根结点的左孩子
switch (lc.bf){
case 1: //新节点插入在根结点左孩子的左子树。为LL型
lc.bf = 0;
T.bf = 0;
return R_Rotate(T); //LL型为一次旋转
case -1: //新节点插入在根结点左孩子的右子树。为LR型
let rd = lc.rChild; //指向根结点左孩子的右子树根
switch (rd.bf){ //对应LR型的三种平衡因子变化情况
case 1:
lc.bf = 0;
T.bf = -1;
break;
case -1:
lc.bf = 1;
T.bf = 0;
break;
case 0:
lc.bf = 0;
T.bf = 0;
break;
}
rd.bf = 0;
T.lChild = L_Rotate(T.lChild); //LR型为两次旋转
return R_Rotate(T);
}
}
function rightBalance(T){ //对根结点为T的不平衡子树进行旋转调整操作
let rc = T.rChild; //根结点的右孩子
switch (rc.bf){
case -1: //新节点插入在根结点左孩子的左子树。为RR型
rc.bf = 0;
T.bf = 0;
return L_Rotate(T); //RR型为一次旋转
case 1: //新节点插入在根结点左孩子的右子树。为RL型
let ld = rc.lChild; //指向根结点左孩子的右子树根
switch (ld.bf){ //对应RL型的三种平衡因子变化情况
case 1:
rc.bf = -1;
T.bf = 0;
break;
case -1:
rc.bf = 0;
T.bf = 1;
break;
case 0:
rc.bf = 0;
T.bf = 0;
break;
}
ld.bf = 0;
T.rChild = R_Rotate(T.rChild); //RL型为两次旋转
return L_Rotate(T);
}
}
平衡二叉树的删除操作更为复杂，先占个坑，以后有空再来慢慢研究，https://blog.csdn.net/goodluckwhh/article/details/11786079/