2021牛客寒假算法基础集训营6 B.系数（卢卡斯定理）

题意：

解法：

$$\begin{gathered} f(x)\%3=(x^2+x+1{)}^n \\ =((x-1{)}^2+3x{)}^n \\ 由于3x\%3=0, \\ 因此f(x)=(x-1{)}^{2n} \\ 第k项的系数为C(2n,k)\ast (-1{)}^{2n-k} \\ 因为可以\%3,C(2n,k)用卢卡斯定理算一下就行了. \end{gathered}$$

code：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxm=3e5+5;
const int mod=3;
int c[3][3];
int n,k;
void init(){
    
    
    for(int i=0;i<3;i++){
    
    
        c[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++){
    
    
            c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
        }
    }
}
int C(int n,int m){
    
    
    if(m<0||m>n)return 0;
    return c[n][m];
}
int lucas(int n,int m){
    
    
    if(m==0)return 1;
    return C(n%mod,m%mod)*lucas(n/mod,m/mod)%mod;
}
void solve(){
    
    
    cin>>n>>k;
    int ans=lucas(2*n,k);
    if((2*n-k)&1)ans=(-ans+mod)%mod;
    cout<<ans<<endl;
}
signed main(){
    
    
    ios::sync_with_stdio(0);
    init();
    int T;cin>>T;
    while(T--){
    
    
        solve();
    }
    return 0;
}

---