【路径规划】动态规划法二维、三维空间最短路径规划【Matlab 467期】

一、简介

动态规划适合与解决最优问题，求最大值最小值等，可以显著降低时间复杂度。

1 动态规划算法思想：
一个模型：多阶段决策最优解模型。

三个特征：

最优子结构：文图的最优解包含子问题的最优解；
无后效性：推导后面阶段的状态时，只关心前面阶段的状态值，不关心状态时怎么来的，某阶段的状态决定之后不受之后阶段状态的影响。
重复子问题：不同的决策序列，到达某个相同的阶段可能会产生重复的状态。
解决动态规划问题的解题总结：
状态转移表法：将解决问题转化成状态表，分阶段填充状态表的每个状态。
解题思路：回溯算法实现 - 定义状态 - 画递归树 - 找重复子问题 - 画状态转移表 - 根据递推关系填表 - 将填表过程翻译成代码。
状态转移方程法：某个问题如何通过子问题来递归求解，也就是所谓的最优子结构。根据最优子结构，写出递归公式，也就是所谓的状态转移方程，代码的实现可以用递归加“备忘录”或者是迭代递推。
大致思路可以概括为，找最优子结构 - 写状态转移方程 - 将状态转移方程翻译成代码。
0-1背包问题：
回溯算法的思路：
穷举搜索所有可能的装法，然后找出满足条件的最大值。当计算有重复的时候采用“备忘录”的方法记录已经计算好的值，就可以避免冗余计算。

2 动态规划解决思路：
将问题分解为多个阶段，每个阶段对应一个决策。我们记录每一个阶段可达的状态集合（去掉重复的），然后通过当前阶段的状态集合，来推导下一个阶段的状态集合，动态地往前推进。

贪心，分治，回溯，动态规划算法的比较：
贪心算法：是动态规划算法的一种特殊情况。它解决问题起来更加高效，代码实现也更加简洁。不过，它可以解决的问题也更加有限。它能解决的问题需要满足三个条件，最优子结构、无后效性和贪心选择性；

分治算法：解决的问题尽管大部分也是最优解问题，但是，大部分都不能抽象成多阶段决策模型；

回溯算法：相当于穷举搜索。穷举所有的情况，然后对比得到最优解。不过，回溯算法的时间复杂度非常高，是指数级别的，只能用来解决小规模数据的问题。对于大规模数据的问题，用回溯算法解决的执行效率就很低了；

动态规划：比回溯算法高效，需要满足三个特征，最优子结构、无后效性和重复子问题。分治算法不能有重复的子问题，动态规划之所以高效，就是因为回溯算法实现中存在大量的重复子问题。

二、源代码

unction varargout = FindSP(varargin)
%寻找最短路径，GUI界面显示
gui_Singleton = 1;
gui_State = struct('gui_Name',       mfilename, ...
                   'gui_Singleton',  gui_Singleton, ...
                   'gui_OpeningFcn', @FindSP_OpeningFcn, ...
                   'gui_OutputFcn',  @FindSP_OutputFcn, ...
                   'gui_LayoutFcn',  [] , ...
                   'gui_Callback',   []);
if nargin && ischar(varargin{
    
    1})
    gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{
    
    1});
end

if nargout
    [varargout{
    
    1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State, varargin{
    
    :});
else
    gui_mainfcn(gui_State, varargin{
    
    :});
end
% End initialization code - DO NOT EDIT


% --- Executes just before FindSP is made visible.
function FindSP_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles, varargin)
% This function has no output args, see OutputFcn.
% hObject    handle to figure
% eventdata  reserved - to be defined in a future version of MATLAB
% handles    structure with handles and user data (see GUIDATA)
% varargin   command line arguments to FindSP (see VARARGIN)

% Choose default command line output for FindSP
handles.output = hObject;

% Update handles structure
guidata(hObject, handles);

% UIWAIT makes FindSP wait for user response (see UIRESUME)
% uiwait(handles.figure1);


% --- Outputs from this function are returned to the command line.
function varargout = FindSP_OutputFcn(hObject, eventdata, handles) 
% varargout  cell array for returning output args (see VARARGOUT);
% hObject    handle to figure
% eventdata  reserved - to be defined in a future version of MATLAB
% handles    structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Get default command line output from handles structure
varargout{
    
    1} = handles.output;







% --- Executes on button press in pushbutton1.
function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles)
% 计算最短路径，并显示在界面上
if(handles.dimension==2) %二维
    [handles.SP,handles.data]=findSP_2D(handles.A);  %求最短路径，handles.SP为最小和，handles.data为最短路径
    set(handles.text1,'string',num2str(handles.SP));%在text1（文本框）中显示最小和   
    %显示最短路径到Excel中
    data = mat2cell(handles.A,ones(1,size(handles.A,1)),ones(1,size(handles.A,2)));
    n=size(handles.data,1);
    for i=1:n
        j=handles.data(i,1);
        k=handles.data(i,2);
        data{
    
    j,k}=['<html><table><tr><td width=100 bgcolor="yellow">','<FONT face="Times New Roman"size="4"color=black">',num2str(data{
    
    j,k},'%5d'), '</table></html>'];
    end
    set(handles.uitable1,'data',data); %显示最短路径
    get(handles.uitable1,'ColumnWidth')

    guidata(hObject, handles);
end
if(handles.dimension==3) %三维
    [handles.SP,handles.data]=findSP_3D(handles.A); %求最短路径，handles.SP为最小和，handles.data为最短路径
    [m,n,p]=size(handles.A);
    set(handles.text1,'string',num2str(handles.SP));%在text1（文本框）中显示最小和
  %动态显示路径
    axes(handles.axes1);
    h = plot3(1,1,1);
    axis([1,m,1,n,1,p]);
    grid on
    for k = 1:numel(handles.data(:,1))
         set(h,'XData',handles.data(1:k,1),'YData',handles.data(1:k,2),'ZData',handles.data(1:k,3));
         drawnow;
         axis([1,m,1,n,1,p]);
         pause(0.3);
    end
    guidata(hObject, handles);
end

    


% --------------------------------------------------------------------
function Untitled_1_Callback(hObject, eventdata, handles)
% hObject    handle to Untitled_1 (see GCBO)
% eventdata  reserved - to be defined in a future version of MATLAB
% handles    structure with handles and user data (see GUIDATA)


% --------------------------------------------------------------------
function Untitled_2_Callback(hObject, eventdata, handles)
% 打开文件对话框读取二维矩阵（txt格式）
filename=uigetfile('.txt');
fid=fopen(filename);
handles.A=readData(fid);
handles.dimension=2;  %标志维度，2表示二维
fclose(fid);
set(handles.uitable1,'visible','on','data',handles.A);  %原矩阵显示在表格上
axes(handles.axes1);cla reset; %清空坐标轴中的路径信息
set(handles.axes1,'visible','off');%隐藏显示三维路径的坐标轴
set(handles.text1,'string',' ');%清空text1（文本框）中显示的最小和
guidata(hObject, handles);


% --------------------------------------------------------------------
function Untitled_5_Callback(hObject, eventdata, handles)
% hObject    handle to Untitled_5 (see GCBO)
% eventdata  reserved - to be defined in a future version of MATLAB
% handles    structure with handles and user data (see GUIDATA)


% --------------------------------------------------------------------
function Untitled_3_Callback(hObject, eventdata, handles)
% 建立随机矩阵
%弹出输入对话框用于确定随机矩阵的大小，矩阵元素取值范围等信息
prompt={
    
    '行数','列数','矩阵元素取值范围'};
title='随机矩阵参数设置';
lines=[1 1 1];
def={
    
    '6','6','0 10'}; 
answer=inputdlg(prompt,title,lines,def);
m=str2double(answer{
    
    1});
n=str2double(answer{
    
    2});
range=str2num(answer{
    
    3});
min=range(1);max=range(2);
handles.A=round((rand(m,n))*(max-min)+min);   %原矩阵
handles.dimension=2; %二维
set(handles.uitable1,'visible','on','data',handles.A);  %原矩阵显示在表格上
axes(handles.axes1);cla reset; %清空坐标轴中的路径信息
set(handles.axes1,'visible','off');%隐藏显示三维路径的坐标轴
set(handles.text1,'string',' ');%清空text1（文本框）中显示的最小和
guidata(hObject, handles);

% --------------------------------------------------------------------
function Untitled_4_Callback(hObject, eventdata, handles)
%保存路径结果(二维）
fid=fopen('result_2D.txt','w');
fprintf(fid,'最小和：%d\r\n最短路径：     (行号，列号)\r\n',handles.SP);
[m,n]=size(handles.data);
for i=1:m
    fprintf(fid,'（%d，%d）\r\n',handles.data(i,1),handles.data(i,2));
end

三、运行结果

在这里插入图片描述

四、备注

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