演化算法时间复杂度

文章标题：On the Runtime of Randomized Local Search and Simple Evolutionary Algorithms for Dynamic Makespan Scheduling
会议：Proceedings of the Twenty-Fourth International Joint Conference on Artificial Intelligence (IJCAI 2015)
arXiv: 1504.06363

1. 问题描述
   目标函数：$f(x) = \max \left\{ \sum\limits_{i=1}^{n} p_i \left( 1-x_i \right) , \sum\limits_{i=1}^{n} p_i x_i \right\}$
   其中，
   $n$ 为作业（job）的个数，$p_i$ 为工作 $i$ 的耗时
   有两个机器 $M_1$ 和 $M_2$ ，对所有工作进行处理
   $x_i=0$表示 作业 $i$ 由 $M_1$ 处理； $x_i=1$ 表示 作业 $i$ 由 $M_2$ 处理
   $p_i$ 为作业 $i$ 的代价（时间）
   目的是 将所有作业分配到两个机器进行处理，两个机器同时运行，最小化最大运行时间。
   此问题为动态问题，即：每隔一定的时间（代数）对随机一项作业$i$的耗时改变（$p_i + 1$ 或 $p_i - 1$）

2. 基准算法
   进化计算运行时分析的标准基准算法：Randomized Local Search (RLS) , (1+1) EA .
   具体来说：
   RLS : 随机改变一个变量
   (1+1) EA : 以几率 $1/n$ 改变每一个变量 （$n$ 为变量的个数）

   算法：
   

3. desired goal （期望目标）：
   $d(x) = \left| \left( \sum\limits_{i=1}^{n} p_i \left( 1 - x_i \right) \right) - \left( \sum\limits_{i=1}^{n} p_i x_i \right) \right|$
   即：the discrepancy （差异） of the solution $x$

4. 算法用时为达到期望目标的时间
   fuller machine — 负载较大的机器
   其作业数至少为：$\lceil \left( P/2 \right) / U \rceil \geq \lceil \left( n/2 \right) \left( L/U \right) \rceil = \lceil \left( n/2 \right) \cdot R^{-1} \rceil$
5. 期望时间
   目标：$d(x) \leq U$，$U$ 为$p_i$的上限，$L$为下限；独立于初始解及作业时间的动态变化
   RLS：$O \left( n\min\left\{ \log n,\log R \right\} \right)$，$R=U/L$
   (1+1)EA：$O\left( n^{3/2} \right)$

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[1] https://www.ijcai.org/Proceedings/15/Papers/526.pdf