【ACWing】1073. 树的中心

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/1075/

给定一棵树，树中包含$n$个结点（编号$1\sim n$）和$n-1$条无向边，每条边都有一个权值。请你在树中找到一个点，使得该点到树中其他结点的最远距离最近。

输入格式：
第一行包含整数$n$。接下来$n-1$行，每行包含三个整数$a_i,b_i,c_i$，表示点$a_i$和$b_i$之间存在一条权值为$c_i$的边。

输出格式：
输出一个整数，表示所求点到树中其他结点的最远距离。

数据范围：
$1\le n\le 10000$
$1\le a_i,b_i\le n$
$1\le c_i\le 10^5$

思路是DFS，枚举每个顶点，不妨设正在枚举$x$，求出从该顶点出发的最长的路径的长度，然后找到那个最长路径最短的那个节点。我们任取一个顶点作为树根，然后将整棵树看成一个有根树，这样可以将所有路径按照其经过的最高点来分类，然后枚举顶点$x$，求出以$x$为最高点的最长路径长度。设$f(x)$是从$x$向下走的所有路径里最长的路径，设$g(x)$是从$x$向上走的所有路径里最长的路径。设$x$的孩子有$c_1,c_2,...,c_k$，那么$f(x)=|(x,c_i)|+f(c_i)$，这个可以直接以DFS求解。但是对于$g(x)$则稍微复杂一些，设$p_x$是$x$的父亲，那么$g(x)$肯定是先向上走一步的，但是接下来怎么走就得分类了。首先有可能继续向上走，那么就是$|(x,p_x)|+g(p_x)$；也有可能是向下走，但是向下走不能走回$x$，我们可以这样考虑，如果$f(p_x)$是不通过$x$的，那么向下走的那条路可以走取到$f(p_x)$的那条；否则的话就要找到去掉通过$x$的路径之后，剩余路径里的最长路径。所以我们在算$f$的时候，还要记录一下从$x$向下走的路径里最长和第二长的路径分别经过了哪个儿子（注意这里的最长和第二长是按经过哪个儿子来分类的，即求$f(c_i)$取到最大和次大值的那个$c_i$）。代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

// 边数是顶点数乘以2
const int N = 10010, M = 2 * N;
int n;
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
// d1[x]是从x向下走的第一长的路径长度，d2[x]是从x向下走的第二长的路径长度；
// p1[x]是从x向下走的第一长的路径长度经过的孩子节点编号，p2[x]是从x向下走的
// 第二长的路径长度经过的孩子节点编号；up[x]是从x向上走的最长路径长度；
// 以上所说路径都是不自交的路径
int d1[N], d2[N], p1[N], p2[N], up[N];

void add(int a, int b, int c) {
    
    
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++; 
}

// 求从u出发向下走的最长和次长路径长度，及它们经过的孩子编号
int dfs_d(int u, int parent) {
    
    
	// 枚举u的孩子
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
    
    
        int j = e[i];
        // 不走回头路
        if (j == parent) continue;
		
		// 递归求解从j出发向下的最长路径长度
        int d = dfs_d(j, u) + w[i];
        if (d >= d1[u]) {
    
    
            d2[u] = d1[u], d1[u] = d;
            p2[u] = p1[u], p1[u] = j;
        } else if (d > d2[u]) {
    
    
            d2[u] = d;
            p2[u] = j;
        }
    }

    return d1[u];
}

// 求从u出发向上走的最长路径长度
void dfs_u(int u, int parent) {
    
    
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
    
    
        int j = e[i];
        if (j == parent) continue;
		
		// 如果从u出发向下走的最长路就是通过j的，那么就应该累加从u向上走的
		// 最长路长度和从u向下走的第二长路长度之更大者；否则累加从u向上走的
		// 最长路长度和从u向下走的最长路长度之更大者；
        if (p1[u] == j) up[j] = max(up[u], d2[u]) + w[i];
        else up[j] = max(up[u], d1[u]) + w[i];

        dfs_u(j, u);
    }
}

int main() {
    
    
    cin >> n;

    memset(h, -1, sizeof h);
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
    
    
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c), add(b, a, c);
    }

    dfs_d(1, -1);
    dfs_u(1, -1);

    int res = 0x3f3f3f3f;
    for (int i = 1; i <= n; i++) res = min(res, max(d1[i], up[i]));

    cout << res << endl;

    return 0;
}

时空复杂度$O(n)$。