【ACWing】1275. 最大数

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/1277/

给定一个正整数数列$a_1,a_2,\dots ,a_n$，每一个数都在$0\sim p-1$之间。可以对这列数进行两种操作：添加操作：向序列后添加一个数，序列长度变成$n+1$；询问操作：询问这个序列中最后$L$个数中最大的数是多少。程序运行的最开始，整数序列为空。写一个程序，读入操作的序列，并输出询问操作的答案。

输入格式：
第一行有两个正整数$m,p$，意义如题目描述；接下来$m$行，每一行表示一个操作。如果该行的内容是$QL$，则表示这个操作是询问序列中最后$L$个数的最大数是多少；如果是$At$，则表示向序列后面加一个数，加入的数是$(t+a)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$。其中，$t$是输入的参数，$a$是在这个添加操作之前最后一个询问操作的答案（如果之前没有询问操作，则$a=0$）。第一个操作一定是添加操作。对于询问操作，$L>0$且不超过当前序列的长度。

输出格式：
对于每一个询问操作，输出一行。该行只有一个数，即序列中最后$L$个数的最大数。

数据范围：
$1\le m\le 2\times 10^5$
$1\le p\le 2\times 10^9$
$0\le t<p$

涉及到单点修改和区间查询的操作，可以用线段树来做。线段树是一个近似完全二叉树的结构，其每个节点存储的是某个区间的信息，并且对每个节点而言，其左半子区间的信息存在其左儿子节点里，右半子区间的信息存在其右儿子节点里。由于其近似完全二叉树，所以一般用数组来存储这棵树。树的最后一层不能保证是满的，但是倒数第二层可以保证是满的，其倒数第二层的节点个数不超过区间长度（设区间长度为$n$），从而最后一层的节点个数不超过$2n$，总共节点个数不超过$4n$，所以一般开$4n$个节点来存线段树。经典的线段树有如下几个基本操作：
1、初始化树：作用是求一下每个节点需要维护的区间是哪个区间，即维护的区间的左右端点是什么；并且，初始化各个区间的信息（初始化是自底向上的。初始化好子区间之后再处理当前区间）。能用线段树的前提是，某个区间的信息可以由其左右两个子区间的信息汇总得到（例如，大区间的和可以由两个子区间的和加起来得到，大区间的最大值可以由两个子区间的最大值加起来得到，等等）；
2、询问：即询问某个区间的信息。如果询问的区间是$[l,r]$，而当前节点维护的区间是$[t_l,t_r]$的话，那么有几种情况：如果$[t_l,t_r]\subset [l,r]$，那么直接返回当前节点的信息即可；否则的话，设$[l,r]$的中点是$m$，如果$l\le m$，则需要询问左半边，如果$r>m$则需要询问右半边，然后将左右两个半边询问的结果汇总即可；
3、单点修改：即修改某一点$x$的值，使之成为$v$。可以递归地做，如果当前节点的区间就是单点$x$，那么直接赋值即可；否则的话，设当前节点维护的区间是$[t_l,t_r]$，设维护的区间的中点是$m$，那么如果$x\le m$，则去修改左半子区间，如果$x>m$则去修改右半子区间；修改完子区间之后再修改当前节点维护的区间（这一步叫做pushup）。

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 200010;
int m, p;
// 这里开了4N个节点，每个节点x的左右孩子分别是2x和2x + 1，即树根的下标是1
struct Node {
    
    
	// l和r存当前树节点维护的区间的左右端点；v存被维护的区间的最大值
    int l, r;
    int v;
} tr[4 * N];

void pushup(int u) {
    
    
    tr[u].v = max(tr[u << 1].v, tr[u << 1 | 1].v);
}

void build(int u, int l, int r) {
    
    
    tr[u] = {
    
    l, r};
    if (l == r) return;
    int m = l + (r - l >> 1);
    // 递归建立左右子树
    build(u << 1, l, m), build(u << 1 | 1, m + 1, r);
}

// u是当前节点在线段树数组里的下标，l和r是要查询的区间的左右端点
int query(int u, int l, int r) {
    
    
	// 如果当前维护的区间完全包含在[l, r]中了，则直接返回存的信息v
    if (l <= tr[u].l && tr[u].r <= r) return tr[u].v;

	// 求一下当前节点维护的区间的中点
    int m = tr[u].l + (tr[u].r - tr[u].l >> 1);
    // 分别存左右子区间的查询结果
    int x = 0, y = 0;
    if (l <= m) x = query(u << 1, l, r);
    if (r > m) y = query(u << 1 | 1, l, r);

    return max(x, y);
}

// u含义同上，要把原区间的x这个位置的数修改为v
void modify(int u, int x, int v) {
    
    
    if (tr[u].l == x && tr[u].r == x) tr[u].v = v;
    else {
    
    
        int m = tr[u].l + (tr[u].r - tr[u].l >> 1);
        if (x <= m) modify(u << 1, x, v);
        else modify(u << 1 | 1, x, v);

        pushup(u);
    }
}

int main() {
    
    
    int n = 0, last = 0;
    cin >> m >> p;
    build(1, 1, m);

    int x;
    char op[2];
    while (m--) {
    
    
        scanf("%s%d", op, &x);
        if (op[0] == 'Q') {
    
    
            last = query(1, n - x + 1, n);
            printf("%d\n", last);
        } else {
    
    
            modify(1, n + 1, (last + x) % p);
            n++;
        }
    }
    
    return 0;
}

每次操作时间复杂度都是$O(\log n)$，$n$是线段树维护的区间的长度。空间$O(n)$。