滑模控制二阶系统实例（5mins理解入门，附带MATLAB实现）

问题

设想一个在一维空间的物块，在其上施加一个力f，物块会运动：

显然这是一个二阶系统，选取状态变量$x_1$为位移，$x_2$为速度，则有：
$$\begin{gathered} \dot{x_1}=x_2 \\ \dot{x_2}=f/m=u \end{gathered}$$
其中$u$定义为输入，$m$为物块的质量。又已知：
$$\begin{gathered} x_1(0)=1 \\ {x}_2(0)=0 \end{gathered}$$
设计一个滑模控制器将其控制到原点。

设计滑模面和控制率

滑模面其实就是一个将状态变量融合后的量，是一个n维空间的面，因此也称为滑模面，这里因为只有两个状态变量，就设计成如下形式：
$$s=c{x}_1+x_2$$
两端对时间求导：
$$\dot{s}=c\dot{x_1}+\dot{x_2}=c{x}_2+u$$
移项有控制量的表达式：
$$u=\dot{s}-c{x}_2$$
而$\dot{s}$可以设计成$-\epsilon sgn(s),\epsilon >0$。因此：
$$u=-\epsilon sgn(s)-c{x}_2$$
其中：
$$sgn(x)=\{\begin{array}{c}1,x>0\\ 0,x=0\\ -1,x<0\end{array}$$

MATLAB验证

分别验证了在f无干扰和有干扰情况下物块的控制效果：

从图中可以看到，物块最终稳定在位移为0的地方，速度也趋于0，控制目的达到，至于效果，与$\epsilon ,c$有关。
代码：

%滑模控制一维方块控制demo1（不考虑干扰）
%初始化
deltaT = 0.01;
x1 = [];%位移
x2 = [];%速度
u = [];%控制量
x1(1) = 1; x2(1) = 0;
c = 0.5; e = 0.5;
%循环
iter = 1000;
for i = 1:iter - 1
    s = 0.5*x1(i) + x2(i);
    if(s>0)
        ui = -e - c*x2(i);
        u = [u,ui];
    end
    if(s<0)
        ui = e - c*x2(i);
        u = [u,ui];
    end
    if(s==0)
        ui = -c*x2(i);
        u = [u,ui];
    end
    x2(i+1) = x2(i) + ui*deltaT;
    x1(i+1) = x1(i) + x2(i)*deltaT;
end
subplot(2,2,1)
plot(0:deltaT:(iter-1)*deltaT,x1,"LineWidth",2)
xlabel("时间"),ylabel("位移/速度"),title("位移/速度随时间变化")
hold on; grid on;
plot(0:deltaT:(iter-1)*deltaT,x2,"LineWidth",2)
legend("位移","速度")

subplot(2,2,2)
plot(0:deltaT:(iter-2)*deltaT,u,"LineWidth",1,'Color','r')
xlabel("时间"),ylabel("控制量"),title("控制量随时间变化");grid on;


%demo2（考虑干扰）
x1 = [];%位移
x2 = [];%速度
u = [];%控制量
x1(1) = 1; x2(1) = 0;
for i = 1:iter - 1
    s = 0.5*x1(i) + x2(i);
    if(s>0)
        ui = -e - c*x2(i);
        u = [u,ui];
    end
    if(s<0)
        ui = e - c*x2(i);
        u = [u,ui];
    end
    if(s==0)
        ui = -c*x2(i);
        u = [u,ui];
    end
    x2(i+1) = x2(i) + (ui+rand*0.6)*deltaT;
    x1(i+1) = x1(i) + x2(i)*deltaT;
end
subplot(2,2,3)
plot(0:deltaT:(iter-1)*deltaT,x1,"LineWidth",2)
xlabel("时间"),ylabel("位移/速度"),title("干扰情况下位移/速度随时间变化")
hold on; grid on;
plot(0:deltaT:(iter-1)*deltaT,x2,"LineWidth",2)
legend("位移","速度")

subplot(2,2,4)
plot(0:deltaT:(iter-2)*deltaT,u,"LineWidth",1,'Color','r')
xlabel("时间"),ylabel("控制量"),title("干扰情况下控制量随时间变化");grid on;

对$\epsilon ,c$的分析

原始的$\epsilon =0.5,c=0.5$，现改为$\epsilon =0.5,c=2.5$:

看起来系统的抗干扰性减弱了，具体理论分析有待解决。

$\epsilon =2.5,c=0.5$：

控制器大幅度振荡，类似振铃现象。

$\epsilon =0.2,c=0.5$：

有干扰的系统不稳定了，这个可通过如下方式间接证明：
$$\begin{gathered} \dot{x_1}=x_2 \\ \dot{x_2}=u+d \end{gathered}$$
其中$d$为干扰。
构造Lyapunov函数：
$$V=0.5s^2$$
显然Lyapunov第一条件满足，验证第二条件：
V ˙ = s s ˙ = s ( − ε s g n ( s ) + d ) = − ε ∣ s ∣ + s d ≤ − ε ∣ s ∣ + ∣ s ∣ L = − ∣ s ∣ ( ε − L ) L = m a x { ∣ d ∣ } \dot{V}=s\dot{s}=s(-\varepsilon sgn(s)+d)=-\varepsilon |s|+sd\leq -\varepsilon|s|+|s|L=-|s|(\varepsilon - L)\\ L=max\{|d|\} V˙=ss˙=s(−εsgn(s)+d)=−ε∣s∣+sd≤−ε∣s∣+∣s∣L=−∣s∣(ε−L)L=max{ ∣d∣}
若满足负定则：
$$-|s|(\epsilon -L)\le 0\to \epsilon \ge L$$
也就是说$\epsilon$不能太小了，否则s不能趋于0，而滑模控制s必须趋于0状态才能收敛到原点。

$\dot{V}\le -\alpha \sqrt{V}$

改进Lyapunov第二条件为标题所述可以加快调节时间，上式对时间积分：
$${\int }_0^t\frac{\dot{V}}{\sqrt{V}}dt\le -\alpha t$$
得到：
$$\sqrt{V(t)}\le -0.5\alpha t+\sqrt{V(0)}$$
令：
$$-0.5\alpha t_r+\sqrt{V(0)}=0$$
则：
$$t_r=\frac{2\sqrt{V(0)}}{\alpha }$$
同样利用Lyapunov方法第二条件计算$\epsilon$的取值范围得：
$$\epsilon \ge \frac{\alpha }{\sqrt{2}}$$
$t_r$越小，$\alpha$越大，需要的$\epsilon$越大才能保证Lyapunov函数负定。

Simulink仿真一个二阶系统的SMC控制

被控对象具有以下数学描述（model中使用s-Func搭建）：

控制率求解：
$$\begin{gathered} s=c(x_1-x_d) \\ \dot{s}=c\dot{x_1}+\dot{x_2}=c(x_1^2-x_1^3+x_2)+u=ksgn(s) \\ u=-c(x_1^2-x_1^3+x_2)-ksgn(s) \end{gathered}$$

结果：

蓝色曲线为$x_1$，绿色曲线为$x_2$。

滑模控制的优点和不足

优点是设计简单，为非线性控制提供了一种general的方法（相比于backstepping等），不足的话比如这个例子中控制量会存在剧烈震荡现象。