最长上升子序列(Longest Increasing Subsequence) 也称LIS
我们首先要明确子序列和子串的区别，子序列可以不连续，子串必须连续
- 举一个例子：1 5 7 0 4 5 6 1 2
我们来找一下它的最长上升子序列，1，5，7这是一个，而且没有比7大的，说明以7结尾的子序列最长就是3；
那么7不能是最后面的，我们又看到了6,所以1,5,6这又是一个，长度为3
这样6也用过了，那么5也不能再用，所以我们看到1,4,5,6这个子序列长度是最长的为4 - 在上面的例子中可以看出，这个子序列的找法应该是从头开始找，碰到一个比当前最长上升子序列末尾元素大的就把它加进来，长度加一，那么如果碰到一个小的怎么办呢？看上面的例子，显然是用它替换掉找好的最长上升子序列中第一个比它大的元素，就像例子中的用6换7，用4换5一样，最后每次都去取序列长度的最大值，这样就得到了最长上升子序列的长度，
- 明白了原理就要尝试用程序实现，首先要开两个数组记录，一个记录原序列，另一个记录当前找到的子序列，然后用一个变量len存储当前长度
- 最后这中间有一个查找的过程，在数组中找第一个比x大的元素，很明显可以用upper_bound函数，或者自己写一个二分查找
int solve(int n){
f[1] = Data[0];
int len = 1;
for(int i=1;i<n;i++){
if(Data[i]>f[len]) f[++len] = Data[i];
else{
int pos = upper_bound(f+1,f+len+1,Data[i]) - f;
f[pos] = Data[i];
}
}
return len;
}
题目链接：
板子题可以拿来过一下,它上面写错了不是LCS而是LIS
- 接下来我们继续做题
HDU5256 - 仍然是类似的一个问题，但是这道题显得没那么简单，如果就用上面的程序交了是不对的，因为它里面有这么一句话：修改前和修改后每个元素都必须是整数，也就是说不能随便改，那我们怎么办呢
- 仔细想一下可以知道，如果Data[i+n]-Data[i]<n，那我们无法只通过改变这二者之间的元素达到目的，比如 1 3 2，不可能改变3达到LIS，所以要预先处理位置关系这一问题，我们把Data[i]-=i,这样可以做到Data[i]比Data[i+1]少1,Data[i]比Data[i+2]少2，以此类推，这样得到一个新的数组，只需要找这个数组的最长不下降子序列即可，因为相等的时候原数组位置也是对的
- 转换成数学语言就是令ci=ai-i，如果a严格递增，那么c一定为非递减
- 找到最长不下降子序列说明不需要改的位置最多就这些，所以剩下的都要改也就是需要改的最小值
- 最长不下降子序列和上升子序列之间只差了一个等号
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <queue>
#include <stack>
#include <sstream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 2e5+100;
int Data[MAXN];
int f[MAXN];
int solve(int n){
f[1] = Data[0];
int len = 1;
for(int i=1;i<n;i++){
if(Data[i]>=f[len]) f[++len] = Data[i];
else{
int pos = upper_bound(f+1,f+len+1,Data[i]) - f;
f[pos] = Data[i];
}
}
return len;
}
int main(){
int n,t;
cin>>t;
int tt = 0;
while(t--){
tt++;
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;i++){
scanf("%d",&Data[i]);
Data[i]-=i;
}
cout<<"Case #"<<tt<<':'<<endl;
cout<<n-solve(n)<<endl;
}
return 0;
}
接下来的一个问题
题目链接
这道题更加深入，细节也更多，题目大意是给你两个数组，第一个是一个序列，第二个数组是这些序列的某些位置，这个数组已经是升序排列，这些位置是锁定的不能改，第二个数组也可能是空的，让你找最少需要改多少元素能让第一个数组变成LIS
- 锁定了某些元素就相当于把原数组分成了若干份，直观的想法就是把这些份每一个都去按照HDU那道题求一下需要改的元素个数，再加和，就得到答案，如何判-1？还是HDU那道题的理解，如果转换后的数组后一项比前一项小，就说明不能得到答案
- 还需要注意的一点是，例如样例一，前三个数是1 2 1，第三个位置锁定，所以前两个数都需要改，这个可以通过在形成的最长不下降子序列中寻找小于等于a[high]的第一个出现的数的位置来实现，比如上面这个例子，从下标1开始，转换之后得到的数组是0 0 -2，那么小于等于-2的第一个出现的数是-2，位置是3，所以他前面的数都要改，有3-1=2个数
- 在两个数组的头和尾都加上哨兵，确保能把每个元素都包含进来
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <queue>
#include <stack>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 5e5+100;
int a[MAXN];
int b[MAXN];
int f[MAXN];
bool check(int k){
for(int i=2;i<=k;i++){
if(a[b[i-1]] > a[b[i]]) return false;
}
return true;
}
int solve(int low,int high){
int len = 1;
f[1] = a[low];
for(int i=low + 1;i<=high;i++){
if(a[i] >= f[len]) f[++len] = a[i];
else{
int pos = upper_bound(f+1,f+len+1,a[i]) - f;
if(pos!=1) f[pos] = a[i];
}
}
int pos = upper_bound(f+1,f+len+1,a[high]) - f - 1;
return high - low + 1 - pos;
}
int main(){
int n,k;
cin>>n>>k;
a[0] = -0x3f3f3f3f;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
a[i] -= i;
}
a[n+1] = 0x3f3f3f3f;
int ans = 0;
b[0] = 0;
for(int i=1;i<=k;i++) cin>>b[i];
b[k+1] = n+1;
if(!check(k)) cout<<"-1"<<endl;
else{
for(int i=1;i<=k+1;i++){
ans += solve(b[i-1],b[i]);
}cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}