1.LIS的定义：
最长上升子序列（longest increasing subsequence），也可以叫最长非降序子序列，简称LIS，不是太难。即一个数的序列bi，当b1 < b2 < … < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, …, aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, …, aiK)，这里1 <= i1 < i2 < … < iK <= N，但必须按照一定。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8)。
是不是觉得好抽象～没事我给你解释～
首先需要知道，子串和子序列的概念，我们以字符子串和字符子序列为例，更为形象，也能顺带着理解字符的子串和子序列：
（1）字符子串指的是字符串中连续的n个字符，如abcdefg中，ab，cde，fg等都属于它的字串。
（2）字符子序列指的是字符串中不一定连续但先后顺序一致的n个字符，即可以去掉字符串中的部分字符，但不可改变其前后顺序。如abcdefg中，acdg，bdf属于它的子序列，而bac，dbfg则不是，因为它们与字符串的字符顺序不一致。
知道了这个，数值的子序列就很好明白了，即用数组成的子序列。这样的话，最长上升子序列也很容易明白了，归根结底还是子序列，然后子序列中，按照上升顺序排列的最长的就是我们最长上升子序列了，这样听来是不是就很容易明白啦～
还有一个非常重要的问题：请大家用集合的观点来理解这些概念，子序列、公共子序列以及最长公共子序列都不唯一，但很显然，对于固定的两个数组，虽然最LIS不一定唯一，但LIS的长度是一定的。
解法1：动态规划：
我们都知道，动态规划的一个特点就是当前解可以由上一个阶段的解推出， 由此，把我们要求的问题简化成一个更小的子问题。子问题具有相同的求解方式，只不过是规模小了而已。最长上升子序列就符合这一特性。我们要求n个数的最长上升子序列，可以求前n-1个数的最长上升子序列，再跟第n个数进行判断。求前n-1个数的最长上升子序列，可以通过求前n-2个数的最长上升子序列……直到求前1个数的最长上升子序列，此时LIS当然为1。
让我们举个例子：求 2 7 1 5 6 4 3 8 9 的最长上升子序列。我们定义d(i) (i∈[1,n])来表示前i个数以A[i]结尾的最长上升子序列长度。
前1个数 d(1)=1 子序列为2；
前2个数 7前面有2小于7 d(2)=d(1)+1=2 子序列为2 7
前3个数 在1前面没有比1更小的，1自身组成长度为1的子序列 d(3)=1 子序列为1
前4个数 5前面有2小于5 d(4)=d(1)+1=2 子序列为2 5
前5个数 6前面有2 5小于6 d(5)=d(4)+1=3 子序列为2 5 6
前6个数 4前面有2小于4 d(6)=d(1)+1=2 子序列为2 4
前7个数 3前面有2小于3 d(3)=d(1)+1=2 子序列为2 3
前8个数 8前面有2 5 6小于8 d(8)=d(5)+1=4 子序列为2 5 6 8
前9个数 9前面有2 5 6 8小于9 d(9)=d(8)+1=5 子序列为2 5 6 8 9
d(i)=max{d(1),d(2),……,d(i)} 我们可以看出这9个数的LIS为d(9)=5
总结一下，d(i)就是找以A[i]结尾的，在A[i]之前的最长上升子序列+1，当A[i]之前没有比A[i]更小的数时，d(i)=1。所有的d(i)里面最大的那个就是最长上升子序列。其实说的通俗点，就是每次都向前找比它小的和比它大的位置，将第一个比它大的替换掉，这样操作虽然LIS序列的具体数字可能会变，但是很明显LIS长度还是不变的，因为是替换掉了，并没有改变增加或者减少长度。但是我们通过这种方式是无法求出最长上升子序列具体是什么的，
状态设计：F[ i ]代表以A[ i ]结尾的LIS的长度
状态转移：F[ i ]=max{ F[ j ]+1 ，F[ i ] }(1<=j< i,A[j]< A[i])
边界处理：F[ i ]=1(1<=i<=n)
时间复杂度：O(n^2)
代码实现：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 1e4+10;
int main()
{
int a[N],b[N],i,j,n;
while(cin>>n){
for(i = 0; i < n; i++){
cin>>a[i];
b[i] = 1;
}
for(i = 0; i < n; i++){
for(j = 0; j < i; j++){
if(a[j]<a[i]){
b[i] = max(b[j]+1,b[i]);
}
}
}
sort(b,b+n);
cout<<b[n-1]<<endl;
}
return 0;
}
这个算法的时间复杂度为〇(n²)，并不是最优的算法。一般来说都可以通过，但是在限制条件苛刻的情况下，这种方法行不通。