【ACWing】2488. 树套树-简单版

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/description/2490/

请你写出一种数据结构，来维护一个长度为$n$的序列，其中需要提供以下操作：
1 pos x，将$pos$位置的数修改为$x$。
2 l r x，查询整数$x$在区间$[l,r]$内的前驱（前驱定义为小于$x$，且最大的数）。数列中的位置从左到右依次标号为$1\sim n$。区间$[l,r]$表示从位置$l$到位置$r$之间（包括两端点）的所有数字。区间内排名为$k$的值指区间内从小到大排在第$k$位的数值。（位次从$1$开始）

输入格式：
第一行包含两个整数$n,m$，表示数列长度以及操作次数。
第二行包含$n$个整数，表示有序数列。接下来$m$行，每行包含一个操作指令，格式如题目所述。

输出格式：
对于所有操作$2$，每个操作输出一个查询结果，每个结果占一行。

数据范围：
$1\le n,m\le 5\times 10^4$
$1\le l\le r\le n$
$1\le pos\le n$
$0\le x\le 10^8$
有序数列中的数字始终满足在$[0,10^8]$范围内，数据保证所有操作一定合法，所有查询一定有解。

可以用树套树来做。为了快速查找$x$在$[l,r]$的前驱，我们需要平衡树，可以利用线段树将这个区间分为$O(\log n)$级别个小区间，每个区间维护都维护一个平衡树，这样查找$x$的前驱就可以在每个小区间里查找前驱，然后对这些前驱求最大值。修改的话可以按照线段树的方式修改。代码如下：

#include <iostream>
#include <set>
using namespace std;

const int N = 5e4 + 10, INF = 1e9;
int n, m;
struct Tree {
    
    
    int l, r;
    multiset<int> s;
} tr[N << 2];
int w[N];

void build(int u, int l, int r) {
    
    
    tr[u] = {
    
    l, r};
    tr[u].s.insert(-INF), tr[u].s.insert(INF);
    for (int i = l; i <= r; i++) tr[u].s.insert(w[i]);
    if (l == r) return;
    int mid = l + r >> 1;
    build(u << 1, l, mid), build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
}

void change(int u, int p, int x) {
    
    
	// 不能写tr[u].s.erase(w[p])，这样会把w[p]的所有出现都删掉的
    tr[u].s.erase(tr[u].s.find(w[p]));
    tr[u].s.insert(x);
    if (tr[u].l == tr[u].r) return;
    
    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
    if (p <= mid) change(u << 1, p, x);
    else change(u << 1 | 1, p, x);
}

int query(int u, int a, int b, int x) {
    
    
    if (a <= tr[u].l && tr[u].r <= b) {
    
    
    	// 找大于等于x的最小值，向前找一位就是x的前驱
        auto it = tr[u].s.lower_bound(x);
        it--;
        return *it;
    }

    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1, res = -INF;
    if (a <= mid) res = max(res, query(u << 1, a, b, x));
    if (b > mid) res = max(res, query(u << 1 | 1, a, b, x));
    return res;
}

int main() {
    
    
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &w[i]);
    build(1, 1, n);
    while (m--) {
    
    
        int op, a, b, x;
        scanf("%d", &op);
        if (op == 1) {
    
    
            scanf("%d%d", &a, &x);
            change(1, a, x);
            w[a] = x;
        } else {
    
    
            scanf("%d%d%d", &a, &b, &x);
            printf("%d\n", query(1, a, b, x));
        }
    }

    return 0;
}

每次操作时间复杂度$O({\log }^{2}n)$，空间$O(n\log n)$。