【数学与算法】特征值_特征向量_状态空间表达式_微分方程

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1.特征值与特征向量

对于一个给定的线性变换$A$,它的特征向量 $v$ 经过这个线性变换的作用之后，得到的新向量仍然与原来的 $v$ 保持在同一直线上，但是其长度或方向也许会改变，即：
$$Av=\lambda v\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中，$\lambda$是标量，即特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例，称其为$特征值$。

$$Av=\lambda v$$
等价于：
$$(A-\lambda I)v=0\text{\hspace{1em}(2)}$$
根据矩阵的理论，如果要使上面的等式有非零解，必须满足：
$$|A-\lambda I|=0\text{\hspace{1em}(3)}$$
解出上式就得到了特征值 $\lambda$ 和特征向量 $v$。

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2.矩阵特征值与特征向量的一个重要的应用就是：把矩阵化为对角矩阵，它起到一个解耦的作用。

例子：
$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 4& -2\end{array}\right]$
可以求得矩阵$A$的的特征值为${\lambda }_1=2$,${\lambda }_2=-3$
对应的特征向量分别为：

$v1=\left[\begin{array}{c}v11\\ v12\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$ 和 $v2=\left[\begin{array}{c}v21\\ v22\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ -4\end{array}\right]$ 。

$P=\left[\begin{array}{c}v1v2\end{array}\right]$是一个过滤矩阵，那么：

$$\begin{gathered} AP \\ =A\left[\begin{array}{c}v1v2\end{array}\right] \\ =A\left[\begin{array}{cc}v11& v21\\ v12& v22\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{c}A\left[\begin{array}{c}v11\\ v12\end{array}\right]A\left[\begin{array}{c}v21\\ v22\end{array}\right]\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{c}{\lambda }_1\left[\begin{array}{c}v11\\ v12\end{array}\right]{\lambda }_2\left[\begin{array}{c}v21\\ v22\end{array}\right]\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_{1}v11& {\lambda }_{2}v21\\ {\lambda }_{1}v12& {\lambda }_{2}v22\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc}v11& v21\\ v12& v22\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right] \\ =P\Lambda \end{gathered}$$

这样就得到了：
$$AP=P\Lambda \text{\hspace{1em}(4)}$$
等式都左乘$P^{-1}$,得到：
$$P^{-1}AP=\Lambda \text{\hspace{1em}(5)}$$

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3.在控制理论的状态空间中的运用：

在现代控制理论当中，状态空间的方程，是由一些微分方程组组成的。
$$\{\begin{array}{l}\frac{d{x}_1}{dt}=x_1+x_2\\ \\ \frac{d{x}_2}{dt}=4x_1-2x_2\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$

上面的微分方程组可以写成如下形式：
$$\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}x1\\ x2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 4& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x1\\ x2\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(8)}$$
上式可以写成状态空间的表达形式：
$$\dot{x}=Ax\text{\hspace{1em}(9)}$$
令:
$$x=Py\text{\hspace{1em}(10)}$$
那么：
$$\dot{x}=P\dot{y}\text{\hspace{1em}(11)}$$
对(11)左右乘 $A$ 得到：
$$Ax=APy\text{\hspace{1em}(12)}$$
又因为对角矩阵
$$\Lambda =\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -3\end{array}\right]$$

$$P=\left[\begin{array}{c}v1v2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -4\end{array}\right]$$

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根据式子(9)(11)(12)得到，
$$P\dot{y}=APy\text{\hspace{1em}(13)}$$
上式乘以$P^{-1}$得到：
$$\dot{y}=P^{-1}APy\text{\hspace{1em}(14)}$$
又因为(5)式 $P^{-1}AP=\Lambda$，(14)就变为：
$$\dot{y}=\Lambda y\text{\hspace{1em}(15)}$$
于是，有
$$\dot{y}=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -3\end{array}\right]y\text{\hspace{1em}(16)}$$
那么：
$$\{\begin{array}{l}{\dot{y}}_1=2\ast y_1\\ {\dot{y}}_2=-3\ast y_2\end{array}\text{\hspace{1em}(17)}$$
根据微分方程的解法：得到：
$$\{\begin{array}{l}{y}_1=C_1\ast e^{2t}\\ y_2=C_2\ast e^{-3t}\end{array}\text{\hspace{1em}(18)}$$
其中，$C_1$ 、$C_2$为常数。

把上面结果带入(10) 式 $x=Py$, 那么：

$$\begin{gathered} x=Py=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{C}_1\ast e^{2t}\\ C_2\ast e^{-3t}\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{c}{C}_1\ast e^{2t}+C_2\ast e^{-3t}\\ \\ C_1\ast e^{2t}-4C_2\ast e^{-3t}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(19)} \end{gathered}$$

这就是我们用特征值与特征向量的方法来解微分方程组。