一、2D变换
在上一节,在定义了我们的基本概念之后,我们现在可以将注意力转向如何转换它们。最简单的转换发生在 2D 平面中,如下图所示。
1、平移(Translation)
二维平移可以写成 或,其中是的单位矩阵。
又或者可以表示成
其中0是零向量。使用矩阵会产生更紧凑的表示法,而使用全秩矩阵(可以通过附加 行从矩阵获得)可以使用矩阵进行链式变换乘法以及计算逆变换。 请注意,在任何两边都出现诸如的增广向量的方程中,它总是可以用完全齐次向量代替。
2、旋转+平移(Rotation + Translation)
这种变换也称为2D刚体运动或2D欧几里得变换(因为保留了欧几里得距离)。可以写成 或,其中,是一个正交旋转矩阵,即和。
3、缩放旋转(Scaled rotation)
也称为相似变换,这种变换可以表示为 ,其中是任意比例因子。它也可以写成,其中不要求 。相似度变换保留了线之间的角度。
4、仿射变换
仿射变换写为,其中 A 是任意矩阵,即,,平行线在仿射变换下保持平行。
5、透视变换
透视变换也成为单应性,在齐次坐标上运行,
6、二维变换的层次结构
将它们视为一组(可能受限的) 矩阵在二维齐次坐标向量上运行的最简单方法。Hartley 和 Zisserman (2004) 包含对二维平面变换层次结构的更详细描述。
上表显示了坐标变换的层次结构,列出了变换名称、矩阵形式、自由度数、它保留的几何属性以及助记符图标。
上述变换形成了一组嵌套的组,即,它们在组合下是封闭的,并且具有属于同一组的逆。 每个(更简单的)组都是它下面更复杂组的子组。 最近的一些机器人教程(Dellaert 和 Kaess 2017;Blanco 2019;Sol`a、Deray 和 Atchuthan 2019)讨论了此类李群及其相关代数(原点处的切线空间)的数学,其中 2D 旋转 刚性变换称为 SO(2) 和 SE(2),分别代表特殊正交群和特殊欧几里得群。