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TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法。
TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。
回顾：层次分析法的一些局限性
1. 评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和 一致矩阵差异可能会很大。
我们上面提到过的RI指标也只到了15：
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| R | 0 | 0 | 0.52 | 0.89 | 1.12 | 1.26 | 1.36 | 1.41 | 1.46 | 1.49 | 1.52 | 1.54 | 1.56 | 1.58 | 1.59 |
2. 如果决策层中指标的数据是已知的，那么我们如何利用这些数据来使得评价的更加准确呢？
该方法仍具有较强的主观性，判断/比较矩阵的构造在一定程度上是凭感觉决定的，一致性检验只是检验 感觉 有没有自相矛盾得太离谱。
如果题目中有已经提供了的数据，那就暗示我们不要用层次分析法了，我们可以通过分析这些数据内在的特征来进行建模。这就是TOPSIS方法应用于评价类问题与层次分析法不同之处。
一、模型介绍
1.1 引例：
坤坤宿舍共有四名同学，他们第一学期的高数成绩如下表所示：
| 姓名 | 成绩 |
| 坤坤 | 89 |
| 菜菜 | 60 |
| 小徐 | 74 |
| 鸡哥 | 99 |
请为这四名同学进行评估，该评分能合理的描述其高数水平的高低。
一个简单的想法：
| 姓名 | 成绩 | 等级level | 排名 | 评分 |
| 坤坤 | 89 | 2 | 3 | 3/10=0.3 |
| 菜菜 | 60 | 4 | 1 | 1/10=0.1 |
| 小徐 | 74 | 3 | 2 | 2/10=0.2 |
| 鸡哥 | 99 | 1 | 4 | 4/10=0.4 |
可见，鸡哥成绩最高，最后评估得分0.4也是最高的。
但该方法存在一些问题：哪怕菜菜只得了0分，他的评价分数也是0.1，只与鸡哥差0.3分。
一个较好的方法：
我们构造评分公式：
其中，最高成绩max：99，最低成绩min：60。
则有：
| 姓名 | 成绩 | 归一化前的评分 | 归一化后的评分 |
| 坤坤 | 89 | (89-60)/(99-60) = 0.74 | 0.74/2.1 = 0.35 |
| 菜菜 | 60 | (60-60)/(99-60) = 0 | 0 |
| 小徐 | 74 | (74-60)/(99-60) = 0.36 | 0.36/2.1 = 0.17 |
| 鸡哥 | 99 | (99-60)/(99-60) = 1 | 1/2.1 = 0.48 |
这样的话，菜菜考得再低，鸡哥考得再高，评分还是不变的。
其实，按卷子满分是max:100，最低min：0。
| 姓名 | 成绩 | 归一化前的评分 | 归一化后的评分 |
| 坤坤 | 89 | 0.89 | 0.28 |
| 菜菜 | 60 | 0.60 | 0.19 |
| 小徐 | 74 | 0.74 | 0.23 |
| 鸡哥 | 99 | 0.99 | 0.30 |
这样显然更合理一些，菜菜最后的评分也不是0分了。
但是，我们依然选择max：99，最低成绩min：60，而不是max:100，最低min：0。原因如下：
- 比较的对象一般要远大于两个，例如比较一个班级的成绩。
- 比较的指标也往往不只是一个方面的，例如成绩、工时数、课外竞赛得分等。
- 菜菜的成绩是0，但也许他的其它项就把评分弥补回来了。
- 有很多指标不存在理论上的最大值和最小值，例如衡量经济增长水平的指标：GDP增速。
评分的公式：
1.2 增加指标：
新增加了一个指标，现在要综合评价四位同学，并为他们进行评分。
| 姓名 | 成绩 | 发生矛盾次数 |
| 坤坤 | 89 | 2 |
| 菜菜 | 60 | 0 |
| 小徐 | 74 | 1 |
| 鸡哥 | 99 | 3 |
- 成绩是越高（大）越好，这样的指标称为极大型指标（效益型指标）。
- 发生矛盾次数越少（越小）越好，这样的指标称为极小型指标（成本型指标）。
统一指标类型
为了方便评分，我们需要统一指标类型(就比如最开始成绩第一等级给他level4)；
将所有的指标转化为极大型称为指标正向化（最常用） ：
| 姓名 | 成绩 | 发生矛盾次数 | 正向化后的争吵次数 |
| 坤坤 | 89 | 2 | 1 |
| 菜菜 | 60 | 0 | 3 |
| 小徐 | 74 | 1 | 2 |
| 鸡哥 | 99 | 3 | 0 |
| 指标类型 | 极大型 | 极小型 | 极大型 |
极小型指标转换为极大型指标的公式： max - x
标准化处理
| 姓名 | 成绩 | 正向化后的争吵次数 |
| 坤坤 | 89 | 1 |
| 菜菜 | 60 | 3 |
| 小徐 | 74 | 2 |
| 鸡哥 | 99 | 0 |
为了消去不同指标量纲的影响， 需要对已经正向化的矩阵进行标准化处理。
如果我们直接计算，很明显成绩的数值大小远大于争吵次数，这就会导致结果过于倾向于成绩的高低，而争吵次数的影响微乎其微，因此，我们要对其进行 标准化处理。
标准化公式：
假设有n个要评价的对象，m个评价指标(已经过正向化处理)，构成矩阵X：
那么对其标准化的矩阵记为Z，Z中每个元素：
如：
计算得分
| 姓名 | 成绩 | 正向化后的争吵次数 |
| 坤坤 | 0.5437 | 0.2673 |
| 菜菜 | 0.3665 | 0.8018 |
| 小徐 | 0.4520 | 0.5345 |
| 鸡哥 | 0.6048 | 0 |
当只有一个指标的时候，我们:
他可以看作：
即：
x与最小值的距离 / (x与最大值的距离+x与最小值的距离)
我们以 表示与最大值的距离，
表示与最小值的距离，则：
对于坤坤：
对于菜菜：
对于小徐、鸡哥：略
得到下表：
| 姓名 | 归一化前的评分 | 归一化后的评分 | 排名 | ||
| 坤坤 | 0.5380 | 0.3206 | 0.3734 | 0.1857 | 3 |
| 菜菜 | 0.2382 | 0.8018 | 0.7709 | 0.3834 | 1 |
| 小徐 | 0.3078 | 0.5413 | 0.6375 | 0.3170 | 2 |
| 鸡哥 | 0.8018 | 0.2382 | 0.2291 | 0.1139 | 4 |
想不到，最后居然是成绩最低的菜菜综合测评排名第一！
当然，如果本学校更加看重成绩，也可以在第二步：标准化处理时设置权重。
二、TOPSIS的介绍
C.L.Hwang 和 K.Yoon 于1981年首次提出 TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution)，可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法。
TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，能充分利用原始数据的 信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。
基本过程为先将原始数据矩阵统一指标类型（一般正向化处理） 得到正向化的矩阵，再对正向化的矩阵进行标准化处理以消除各指 标量纲的影响，并找到有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分 别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对 象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。该方法 对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行。
第一步：将原始矩阵正向化
最常见的四种指标：
| 指标名称 | 指标特点 | 例子 |
| 极大型（效益型）指标 | 越大（多）越好 | 成绩、GDP增速、企业利润 |
| 极小型（成本型）指标 | 越小（少）越好 | 费用、坏品率、污染程度 |
| 中间型指标 | 越接近某个值越好 | 水质量评估时的PH值 |
| 区间型指标 | 落在某个区间最好 | 体温、水中植物性营养物量 |
所谓的将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为极大型指标。（转换的函数形式可以不唯一）
- 极小型指标 --> 极大型指标：
或者
- 中间型指标 --> 极大型指标:
为一指标序列，
为最佳指标；
如：
| PH值(转换前) | PH值(转换后) |
| 6 | |
| 7 | |
| 8 | |
| 9 |
其中 ,
- 区间型指标 --> 极大型指标
为一指标序列，
为最佳区间；
如：
| 体温(转换前) | 体温(转换后) |
| 35.2 | 0.4286 |
| 35.8 | 0.8571 |
| 36.6 | 1 |
| 37.1 | 0.9286 |
| 37.8 | 0.4286 |
| 38.4 | 0 |
其中：a=36，b=37，
注意：正向化的公式不唯一，大家也可以结合自己的数据进行适当的修改。
第二步：正向化矩阵标准化
标准化的目的是消除不同指标量纲的影响。
假设有n个要评价的对象，m个评价指标(已经过正向化处理)，构成矩阵X：
那么对其标准化的矩阵记为Z，Z中每个元素：
注意：标准化的方法有很多种，其主要目的就是去除量纲的影响，未来我们还可能见到更多 种的标准化方法，例如：(x‐x的均值)/x的标准差；具体选用哪一种标准化的方法在多数情况下 并没有很大的限制，这里我们采用的是前人的论文中用的比较多的一种标准化方法。
第三步：计算得分并归一化
注意：
- 要区别开归一化和标准化。归一化的计算步骤也可以 消去量纲的影响，但更多时候，我们进行归一化的目的是为 了让我们的结果更容易解释，或者说让我们对结果有一个更 加清晰直观的印象。例如将得分归一化后可限制在0‐1这个区 间，对于区间内的每一个得分，我们很容易的得到其所处的比例位置。
- 这里还没有考虑指标的权重，后面的内容会考虑指标的权重来进行计算。
三、拓展：添加权重
在我们计算x与最大值的距离 和 x与最小值的距离之前，也就是刚刚标准化完数据之后，可以指标进行权重的设置。
可以使用之前学的层次分析法来确定权重。
此时，我通过查阅资料，询问走访，自己一拍脑门对含氧量，PH值，细菌总个数，植物营养物量进行了打分(我自己乱打的分，略了)
| 权重结果 | 含氧量 | PH值 | 细菌总个数 | 植物营养物量 |
| 含氧量 | 1 | |||
| PH值 | 1 | |||
| 细菌总个数 | 1 | |||
| 植物营养物量 | 1 |
那么我们在代码中添加: # 加入权重的部分
上图也说了，我们也可以把权重加在标准化处理完成后的矩阵上，而不是距离公式上，结果几乎相同。
*熵权法对TOPSIS模型的修正
之前说过层次分析法判断矩阵的确定有很强的主观性。
熵权法是一种客观赋权方法
依据的原理： 指标的变异程度越小，所反映的信息量也越少，其对应的权值也应该越低。
（客观 = 数据本身就可以告诉我们权重）
（一种极端的例子：对于所有的样本而言，这个指标都是相同的数值， 那么我们可认为这个指标的权值为0，即这个指标对于我们的评价起不到任何帮助）
度量信息量的大小
小例子：
小红和小明是两个高中生，小明学习很差，小红学习很好，高考结束后二人都考上了清华。对于小红大家觉得这很正常，而小明考上了清华这就不一样了，这里面包含的信息量就非常大。
这个例子告诉我们：
越有可能发生的事情，信息量越少， 越不可能发生的事情，信息量就越多。
那么我们怎么衡量事情发生的可能性大小？
概率
信息熵的定义
对于熵权法而言， 信息熵越大，信息量越小。因为我们关注的是已有的信息。
信息熵越大，说明它的值越大，能给你补充的信息量就越大，说明已有的信息量越小。
熵权法的计算步骤
1. 判断输入的矩阵中是否存在负数，如果有则要重新标准化到非负区间
我们前面所学，标准化得到Z
本次我们需要去判断矩阵中是否存在负数(本身就是极大型)，如果存在，则需要对X使用另一种标准化方法：
2. 计算第j项指标下第i个样本所占的比重，并将其看作相对熵计算中用到的概率。
此时我们有了非负矩阵 Z，计算概率P：
注：这个还有上面和下面的公式都是固定列(指标)对所有行(对象)进行计算，即每一列所有的数据。
3. 计算每个指标的信息熵，并计算信息效用值，并归一化得到每个指标的熵权。
对于第j个指标而言，其信息熵的计算公式为：
定义: 0log0=0
熵权法背后的原理
我们可以用指标的标准差来衡量样本的变异程度，指标的标准差越大，其信息熵越小。
四、代码实现
题目：评价下表中20条河流的水质情况。
注：含氧量越高越好；PH值越接近7越好；细菌总数越少越好；植物性营养物量介于10‐20之间最佳，超 过20或低于10均不好
我们先将其指标正向化，再标准化再计算得分归一化，啪，就完成了。
ps: 下面代码可以设计得更智能一些，比如加入个input让你输入需要正向化的列是多少、正向化的方法是什么、是否加入权重、加入的权重又是多少，输入是否有误... 不过我觉得没必要。
import numpy as np
import pandas as pd
data = pd.read_excel('20条河流的水质情况数据.xlsx')
matrix = data.loc[:, '含氧量（ppm)':].values
# matrix第一列是极大型指标 我们对第二三四列进行正向化
# 注：正向化的公式不唯一，大家也可以结合自己的数据进行适当的修改。
# 正向化类，这里返回拷贝后的result，也可以直接在原矩阵上进行修改。
class Index_calculation:
def __init__(self, array):
# 初始化指标序列
self.array = array
# 极小型 --> 极大型
def samll_to_big(self):
max_num = max(self.array)
result = max_num - self.array
# result = 1/self.array
return result
# 中间型 --> 极大型
def middle_to_big(self, best):
M = max(abs(self.array - best))
result = 1 - abs(self.array - best) / M
return result
# 区间型 --> 极大型
def interval_to_big(self, a, b):
M = max([a - min(self.array), max(self.array) - b])
result = self.array.copy()
result[result < a] = 1 - (a - result[result < a]) / M
result[(a < result) & (result < b) | (result == a) | (result == b)] = 1
result[result > b] = 1 - (result[result > b] - b) / M
return result
if __name__ == '__main__':
# PH值越接近7越好
col_2 = matrix[:, 1]
# 细菌总数越少越好
col_3 = matrix[:, 2]
# 植物性营养物量介于10‐20之间最佳,超过20或低于10均不好。
col_4 = matrix[:, 3]
# 正向化
matrix[:, 1] = Index_calculation(col_2).middle_to_big(7)
matrix[:, 2] = Index_calculation(col_3).samll_to_big()
matrix[:, 3] = Index_calculation(col_4).interval_to_big(10, 20)
# 标准化
for i in range(4):
matrix[:, i] = matrix[:, i] / np.sqrt(sum(matrix[:, i] ** 2))
# 求出 x与最大值的距离 和 x与最小值的距离
D_big = np.sqrt(sum((max(matrix[:, i]) - matrix[:, i]) ** 2 for i in range(4)))
D_small = np.sqrt(sum((min(matrix[:, i]) - matrix[:, i]) ** 2 for i in range(4)))
# 得到未归一化前的得分
s = D_small / (D_big + D_small)
# 得分归一化
fina_res = s / sum(s)我们可以画图看一下这几条河流得分：
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False
x = data['河流'].values
y = fina_res
fig = plt.figure(figsize = (9,6))
plt.title('标题',fontsize = 15)
plt.xlabel('x轴',fontsize = 12)
plt.ylabel('y轴',fontsize = 12)
plt.ylim(0,max(y)*1.1)
plt.axhline(min(y),linestyle='--',color = 'grey')
plt.axhline(max(y),linestyle='--',color = 'orange')
plt.bar(x,y,color = 'lightblue',width = 0.6,
linewidth = 0.5,edgecolor = 'r',
tick_label = [a for a in x])# 最后一个参数加不下 都是下面显示abcd
plt.show()
可以看到河流K得分最高，N得分最低。
*熵权法加权
一些写法看个人喜好，还有一些正向化及标准化方法不唯一。
import numpy as np
import pandas as pd
data = pd.read_excel('20条河流的水质情况数据.xlsx')
matrix = data.loc[:, '含氧量（ppm)':].values
# 熵权法求权重weights
def get_weights(matrix):
p = np.empty_like(matrix)
for j in range(m):
p[:, j] = matrix[:, j] / np.sum(matrix[:, j])
e = np.empty(m)
for j in range(m):
array = p[:, j][p[:, j] != 0] # 0*log0 = 0 我们直接把0去掉
e[j] = -1 / np.log(n) * np.sum(array * np.log(array))
d = 1 - e
weights = d / np.sum(d)
return weights
# matrix第一列是极大型指标 我们对第二三四列进行正向化
# 注：正向化的公式不唯一，大家也可以结合自己的数据进行适当的修改。
# 正向化类，这里返回拷贝后的result，也可以直接在原矩阵上进行修改。
class Index_calculation:
def __init__(self, array):
# 初始化指标序列
self.array = array
# 极小型 --> 极大型
def samll_to_big(self):
max_num = max(self.array)
result = max_num - self.array
# result = 1/self.array
return result
# 中间型 --> 极大型
def middle_to_big(self, best):
M = max(abs(self.array - best))
result = 1 - abs(self.array - best) / M
return result
# 区间型 --> 极大型
def interval_to_big(self, a, b):
M = max([a - min(self.array), max(self.array) - b])
result = self.array.copy()
result[result < a] = 1 - (a - result[result < a]) / M
result[(a < result) & (result < b) | (result == a) | (result == b)] = 1
result[result > b] = 1 - (result[result > b] - b) / M
return result
if __name__ == '__main__':
# PH值越接近7越好
col_2 = matrix[:, 1]
# 细菌总数越少越好
col_3 = matrix[:, 2]
# 植物性营养物量介于10‐20之间最佳,超过20或低于10均不好。
col_4 = matrix[:, 3]
# 正向化
matrix[:, 1] = Index_calculation(col_2).middle_to_big(7)
matrix[:, 2] = Index_calculation(col_3).samll_to_big()
matrix[:, 3] = Index_calculation(col_4).interval_to_big(10, 20)
n,m = matrix.shape
# 标准化
if np.min(matrix) < 0:
for j in range(4):
matrix[:, j] = (matrix[:, j] - np.min(matrix[:, j])) / (np.max(matrix[:, j]) - np.min(matrix[:, j]))
else:
for j in range(m):
matrix[:, j] = matrix[:, j] / np.sqrt(sum(matrix[:, j] ** 2))
# 调用函数 熵权法求解权重
weights = get_weights(matrix)
# 求出 x与最大值的距离 和 x与最小值的距离
D_big = np.sqrt(sum(weights[j] * (max(matrix[:, j]) - matrix[:, j]) ** 2 for j in range(m)))
D_small = np.sqrt(sum(weights[j] * (min(matrix[:, j]) - matrix[:, j]) ** 2 for j in range(m)))
# 得到未归一化前的得分
s = D_small / (D_big + D_small)
# 得分归一化
fina_res = s / sum(s)
之前我们没有加权值，如今这四个指标的权重为：
array([0.14106059, 0.22667469, 0.44093378, 0.19133094])
同样，我们再画图看一下添加权重后20条河流的得分：
还是K最好，N最差。
ps:求权重的方法不同、权重加在数据上或者距离公式上、正向化及标准化方法不同，都可能导致最终结果有一点变换。
下期预告：灰度关联分析
