此系列属于胡寿松《自动控制原理题海与考研指导》(第三版)习题精选，仅包含部分经典习题，需要完整版习题答案请自行查找，本系列属于知识点巩固部分，搭配如下几个系列进行学习，可用于期末考试和考研复习。
自动控制原理(第七版)知识提炼
自动控制原理(第七版)课后习题精选
自动控制原理(第七版)附录MATLAB基础
第九章：线性系统的状态空间分析与综合
Example 9.21
试求下列各系统的传递函数矩阵或传递函数向量：
- A = [ − 2 2 1 0 − 2 0 1 − 4 0 ] ， b = [ 0 0 − 1 ] ， c = [ 1 − 1 1 ] ， d = 1 A=\begin{bmatrix}-2&2&1\\0&-2&0\\1&-4&0\end{bmatrix}，b=\begin{bmatrix}0\\0\\-1\end{bmatrix}，c=\begin{bmatrix}1&-1&1\end{bmatrix}，d=1 A=⎣⎡−2012−2−4100⎦⎤，b=⎣⎡00−1⎦⎤，c=[1−11]，d=1；
- A = [ 0 1 0 0 0 1 − 6 − 11 − 6 ] ， B = [ 2 6 3 5 1 1 ] ， c = [ 0 0 1 ] ， d = 0 A=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-6&-11&-6\end{bmatrix}，B=\begin{bmatrix}2&6\\3&5\\1&1\end{bmatrix}，c=\begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix}，d=0 A=⎣⎡00−610−1101−6⎦⎤，B=⎣⎡231651⎦⎤，c=[001]，d=0；
- A = [ 0 1 0 0 0 1 2 3 0 ] ， B = [ 1 0 0 − 1 0 1 ] ， C = [ − 2 − 1 1 2 1 − 1 ] ， D = [ 0 1 1 0 ] A=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\2&3&0\end{bmatrix}，B=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\\0&1\end{bmatrix}，C=\begin{bmatrix}-2&-1&1\\2&1&-1\end{bmatrix}，D=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix} A=⎣⎡002103010⎦⎤，B=⎣⎡1000−11⎦⎤，C=[−22−111−1]，D=[0110]；
- A = [ 0 1 − 2 − 3 ] ， B = [ 1 0 1 1 ] ， C = [ 2 1 1 1 − 2 − 1 ] ， D = [ 3 0 0 0 0 1 ] A=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}，B=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}，C=\begin{bmatrix}2&1\\1&1\\-2&-1\end{bmatrix}，D=\begin{bmatrix}3&0\\0&0\\0&1\end{bmatrix} A=[0−21−3]，B=[1101]，C=⎣⎡21−211−1⎦⎤，D=⎣⎡300001⎦⎤；
解：
系统传递函数矩阵： G ( s ) = C ( s I − A ) − 1 B + D G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D G(s)=C(sI−A)−1B+D；
系统传递函数向量： g ( s ) = c ( s I − A ) − 1 B + d g(s)=c(sI-A)^{-1}B+d g(s)=c(sI−A)−1B+d；
【系统1】
( s I − A ) − 1 = 1 ( s + 2 ) ( s 2 + 2 s − 1 ) [ s ( s + 2 ) 2 s − 4 s + 2 0 s 2 + 2 s − 1 0 s + 2 − 4 s − 6 ( s + 2 ) 2 ] (sI-A)^{-1}=\frac{1}{(s+2)(s^2+2s-1)}\begin{bmatrix} s(s+2) & 2s-4 & s+2\\ 0 & s^2+2s-1 & 0\\ s+2 & -4s-6 & (s+2)^2 \end{bmatrix} (sI−A)−1=(s+2)(s2+2s−1)1⎣⎡s(s+2)0s+22s−4s2+2s−1−4s−6s+20(s+2)2⎦⎤
则
G ( s ) = c ( s I − A ) − 1 b + d = 1 + − s − 3 s 2 + 2 s − 1 = s 2 + s − 4 s 2 + 2 s − 1 G(s)=c(sI-A)^{-1}b+d=1+\frac{-s-3}{s^2+2s-1}=\frac{s^2+s-4}{s^2+2s-1} G(s)=c(sI−A)−1b+d=1+s2+2s−1−s−3=s2+2s−1s2+s−4
【系统2】
( s I − A ) − 1 = 1 s 3 + 6 s 2 + 11 s + 6 [ s 2 + 6 s + 11 s + 6 1 − 6 s 2 + 6 s s − 6 s − 11 s − 6 s 2 ] (sI-A)^{-1}=\frac{1}{s^3+6s^2+11s+6}\begin{bmatrix} s^2+6s+11 & s+6 & 1\\ -6 & s^2+6s & s\\ -6s & -11s-6 & s^2 \end{bmatrix} (sI−A)−1=s3+6s2+11s+61⎣⎡s2+6s+11−6−6ss+6s2+6s−11s−61ss2⎦⎤
则
g ( s ) = c ( s I − A ) − 1 B + d = [ s 2 − 45 s − 18 s 3 + 6 s 2 + 11 s + 6 s 2 − 91 s − 30 s 3 + 6 s 2 + 11 s + 6 ] g(s)=c(sI-A)^{-1}B+d=\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{s^2-45s-18}{s^3+6s^2+11s+6} & \displaystyle\frac{s^2-91s-30}{s^3+6s^2+11s+6} \end{bmatrix} g(s)=c(sI−A)−1B+d=[s3+6s2+11s+6s2−45s−18s3+6s2+11s+6s2−91s−30]
【系统3】
( s I − A ) − 1 = 1 s 3 − 3 s − 2 [ s 2 − 3 s 1 2 s 2 s 2 s 3 s + 2 s 2 ] (sI-A)^{-1}=\frac{1}{s^3-3s-2}\begin{bmatrix} s^2-3 & s & 1\\ 2 & s^2 & s\\ 2s & 3s+2 & s^2 \end{bmatrix} (sI−A)−1=s3−3s−21⎣⎡s2−322sss23s+21ss2⎦⎤
则
G ( s ) = C ( s I − A ) − 1 B + D = [ − 2 s 2 + 2 s + 4 s 3 − 3 s − 2 2 s 2 − 2 s − 3 s 3 − 3 s − 2 2 s 2 − 2 s − 3 s 3 − 3 s − 2 − 2 s 2 + 2 s + 4 s 3 − 3 s − 2 ] G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D=\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{-2s^2+2s+4}{s^3-3s-2} & \displaystyle\frac{2s^2-2s-3}{s^3-3s-2}\\\\ \displaystyle\frac{2s^2-2s-3}{s^3-3s-2} & \displaystyle\frac{-2s^2+2s+4}{s^3-3s-2} \end{bmatrix} G(s)=C(sI−A)−1B+D=⎣⎢⎢⎢⎡s3−3s−2−2s2+2s+4s3−3s−22s2−2s−3s3−3s−22s2−2s−3s3−3s−2−2s2+2s+4⎦⎥⎥⎥⎤
【系统4】
( s I − A ) − 1 = 1 ( s + 1 ) ( s + 2 ) [ s + 3 1 − 2 s ] (sI-A)^{-1}=\frac{1}{(s+1)(s+2)}\begin{bmatrix} s+3 & 1\\ -2 & s \end{bmatrix} (sI−A)−1=(s+1)(s+2)1[s+3−21s]
则
G ( s ) = C ( s I − A ) − 1 B + D = [ 3 ( s + 3 ) ( s + 1 ) ( s + 2 ) 1 s + 1 2 s + 2 1 s + 2 − 3 s + 1 − 1 s + 2 ] G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D=\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{3(s+3)}{(s+1)(s+2)} & \displaystyle\frac{1}{s+1}\\\\ \displaystyle\frac{2}{s+2} & \displaystyle\frac{1}{s+2}\\\\ -\displaystyle\frac{3}{s+1} & -\displaystyle\frac{1}{s+2} \end{bmatrix} G(s)=C(sI−A)−1B+D=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡(s+1)(s+2)3(s+3)s+22−s+13s+11s+21−s+21⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
Example 9.22
一个运行在圆形赤道上方的人造地球卫星的线性动态方程为：
x ˙ = A x + B u = [ 0 1 0 0 3 ω 2 0 0 2 ω 0 0 0 1 0 − 2 ω 0 0 ] x + [ 0 0 1 0 0 0 0 1 ] u y = C x = [ 1 0 0 0 0 0 1 0 ] x \begin{aligned} \dot{x}&=Ax+Bu=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 3\omega^2 & 0 & 0 & 2\omega\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & -2\omega & 0 & 0 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ 0 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}u\\\\ y&=Cx=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}x \end{aligned} x˙y=Ax+Bu=⎣⎢⎢⎡03ω200100−2ω000002ω10⎦⎥⎥⎤x+⎣⎢⎢⎡01000001⎦⎥⎥⎤u=Cx=[10000100]x
其中， ω \omega ω为人造卫星绕地球转动的角速度。
x = [ r r ˙ θ θ ˙ ] ； u = [ u r u θ ] ； y = [ r θ ] x=\begin{bmatrix} r\\ \dot{r}\\ \theta\\ \dot{\theta} \end{bmatrix}；u=\begin{bmatrix} u_r\\ u_{\theta} \end{bmatrix}；y=\begin{bmatrix} r\\ \theta \end{bmatrix} x=⎣⎢⎢⎡rr˙θθ˙⎦⎥⎥⎤；u=[uruθ]；y=[rθ]
其中： r r r为人造卫星与地球间的距离； θ \theta θ为人造卫星在赤道平面内绕地球的旋转角度； u r u_r ur和 u θ u_{\theta} uθ分别为卫星的径向和切线推力。研究卫星的可控性。
解：
系统的可控矩阵为：
S = [ B A B A 2 B ] = [ 0 0 1 0 0 2 ω 1 0 0 2 ω − ω 2 0 0 0 0 1 − 2 ω 0 0 1 − 2 ω 0 0 − 4 ω 2 ] S=\begin{bmatrix} B & AB & A^2B \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2\omega\\ 1 & 0 & 0 & 2\omega & -\omega^2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2\omega & 0\\ 0 & 1 & -2\omega & 0 & 0 & -4\omega^2 \end{bmatrix} S=[BABA2B]=⎣⎢⎢⎡01000001100−2ω02ω100−ω2−2ω02ω00−4ω2⎦⎥⎥⎤
由于
det [ 0 0 1 0 1 0 0 2 ω 0 0 0 1 0 1 − 2 ω 0 ] = − 1 ≠ 0 \det\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 2\omega\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -2\omega & 0 \end{bmatrix}=-1≠0 det⎣⎢⎢⎡01000001100−2ω02ω10⎦⎥⎥⎤=−1=0
所以 r a n k S = 4 {\rm rank}S=4 rankS=4，系统可控。
现假定切线方向变成不可操纵的，即 u θ = 0 u_{\theta}=0 uθ=0.在这种情况下，仅仅利用径向推力 u r u_r ur能否保证卫星绕地球正常运行？
u θ = 0 u_{\theta}=0 uθ=0时系统状态方程：
x ˙ = A x + b r u r = [ 0 1 0 0 3 ω 2 0 0 2 ω 0 0 0 1 0 − 2 ω 0 0 ] x + [ 0 1 0 0 ] u r \dot{x}=Ax+b_ru_r=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 3\omega^2 & 0 & 0 & 2\omega\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & -2\omega & 0 & 0 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}u_r x˙=Ax+brur=⎣⎢⎢⎡03ω200100−2ω000002ω10⎦⎥⎥⎤x+⎣⎢⎢⎡0100⎦⎥⎥⎤ur
可控性矩阵为：
S r = [ b r A b r A 2 b r A 3 b r ] = [ 0 1 0 − ω 2 1 0 − ω 2 0 0 0 − 2 ω 0 0 − 2 ω 0 2 ω 3 ] S_r=\begin{bmatrix} b_r & Ab_r & A^2b_r & A^3b_r \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & -\omega^2\\ 1 & 0 & -\omega^2 & 0\\ 0 & 0 & -2\omega & 0\\ 0 & -2\omega & 0 & 2\omega^3 \end{bmatrix} Sr=[brAbrA2brA3br]=⎣⎢⎢⎡0100100−2ω0−ω2−2ω0−ω2002ω3⎦⎥⎥⎤
因为 det S r = 0 \det{S_r}=0 detSr=0.因此只用径向推力 u r u_r ur时卫星不可控。
假定径向推力 u r = 0 u_r=0 ur=0，则有：
x ˙ = A x + b θ u θ = [ 0 1 0 0 3 ω 2 0 0 2 ω 0 0 0 1 0 − 2 ω 0 0 ] x + [ 0 0 0 1 ] u θ \dot{x}=Ax+b_{\theta}u_{\theta}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 3\omega^2 & 0 & 0 & 2\omega\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & -2\omega & 0 & 0 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}u_{\theta} x˙=Ax+bθuθ=⎣⎢⎢⎡03ω200100−2ω000002ω10⎦⎥⎥⎤x+⎣⎢⎢⎡0001⎦⎥⎥⎤uθ
可控性矩阵为：
S θ = [ b θ A b θ A 2 b θ A 3 b θ ] = [ 0 0 2 ω 0 0 2 ω 0 − 2 ω 3 0 1 0 − 4 ω 2 1 0 − 4 ω 2 0 ] S_{\theta}=\begin{bmatrix} b_{\theta} & Ab_{\theta} & A^2b_{\theta} & A^3b_{\theta} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 2\omega & 0\\ 0 & 2\omega & 0 & -2\omega^3\\ 0 & 1 & 0 & -4\omega^2\\ 1 & 0 & -4\omega^2 & 0 \end{bmatrix} Sθ=[bθAbθA2bθA3bθ]=⎣⎢⎢⎡000102ω102ω00−4ω20−2ω3−4ω20⎦⎥⎥⎤
因为 det S θ = − 12 ω 4 ≠ 0 \det{S}_{\theta}=-12\omega^4≠0 detSθ=−12ω4=0.因此只有切线方向推力的卫星是可控的。
Example 9.23
已知系统的动态方程为：
x ˙ ( t ) = [ − 1 0 1 1 − 2 1 0 0 3 ] x ( t ) + [ 1 − 1 0 ] u ( t ) ， y ( t ) = [ 1 0 1 ] x ( t ) \dot{x}(t)=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1\\ 1 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}x(t)+\begin{bmatrix} 1\\-1\\0 \end{bmatrix}u(t)，y(t)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}x(t) x˙(t)=⎣⎡−1100−20113⎦⎤x(t)+⎣⎡1−10⎦⎤u(t)，y(t)=[101]x(t)
试求系统的传递函数；将系统状态方程作对角化变换，求出变换矩阵 P P P，并判断系统是否可控和可观测。
解：
【求传递函数】
由于
( s I − A ) − 1 = 1 ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 3 ) [ ( s + 2 ) ( s − 3 ) 0 s + 2 s − 3 ( s + 1 ) ( s − 3 ) s + 2 0 0 ( s + 1 ) ( s + 2 ) ] (sI-A)^{-1}=\frac{1}{(s+1)(s+2)(s+3)}\begin{bmatrix} (s+2)(s-3) & 0 & s+2\\ s-3 & (s+1)(s-3) & s+2\\ 0 & 0 & (s+1)(s+2) \end{bmatrix} (sI−A)−1=(s+1)(s+2)(s+3)1⎣⎡(s+2)(s−3)s−300(s+1)(s−3)0s+2s+2(s+1)(s+2)⎦⎤
故系统传递函数为：
G ( s ) = c ( s I − A ) − 1 b = ( s + 2 ) ( s − 3 ) ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s − 3 ) = 1 s + 1 G(s)=c(sI-A)^{-1}b=\frac{(s+2)(s-3)}{(s+1)(s+2)(s-3)}=\frac{1}{s+1} G(s)=c(sI−A)−1b=(s+1)(s+2)(s−3)(s+2)(s−3)=s+11
存在零极点对消，故系统不完全可控可观测。
【对角化变换】
由于 A A A阵存在三个互异的特征值： λ 1 = − 1 ， λ 2 = − 2 ， λ 3 = 3 \lambda_1=-1，\lambda_2=-2，\lambda_3=3 λ1=−1，λ2=−2，λ3=3，由 A p i = λ i p i ， i = 1 , 2 , 3 Ap_i=\lambda_ip_i，i=1,2,3 Api=λipi，i=1,2,3，可分别求出其对应的特征向量为：
p 1 = [ 1 1 0 ] ， p 1 = [ 0 1 0 ] ， p 1 = [ 1 1 4 ] ， P = [ 1 0 1 1 1 1 0 0 4 ] ， P − 1 = 1 4 [ 4 0 − 1 − 4 4 0 0 0 1 ] p_1=\begin{bmatrix} 1\\1\\0 \end{bmatrix}，p_1=\begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end{bmatrix}，p_1=\begin{bmatrix} 1\\1\\4 \end{bmatrix}，P=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}，P^{-1}=\frac{1}{4}\begin{bmatrix} 4 & 0 & -1\\ -4 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} p1=⎣⎡110⎦⎤，p1=⎣⎡010⎦⎤，p1=⎣⎡114⎦⎤，P=⎣⎡110010114⎦⎤，P−1=41⎣⎡4−40040−101⎦⎤
取
x ‾ ˙ = P − 1 A P x ‾ + P − 1 b u = [ − 1 0 0 0 − 2 0 0 0 3 ] x ‾ + [ 1 − 2 0 ] u ， y = c P x ‾ = [ 1 0 5 ] x ‾ \dot{\overline{x}}=P^{-1}AP\overline{x}+P^{-1}bu=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}\overline{x}+\begin{bmatrix} 1\\-2\\0 \end{bmatrix}u，y=cP\overline{x}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \end{bmatrix}\overline{x} x˙=P−1APx+P−1bu=⎣⎡−1000−20003⎦⎤x+⎣⎡1−20⎦⎤u，y=cPx=[105]x
【判断可控性与可观测性】
对应极点 3 3 3的状态 x ‾ 3 \overline{x}_3 x3不可控，对应极点 − 2 -2 −2的状态 x ‾ 2 \overline{x}_2 x2不可观测，故系统不完全可控且不完全可观测。
Example 9.24
试将系统 ( A , B , C , D ) (A,B,C,D) (A,B,C,D)化为约当标准型或对角标准型，并求出相应的基底变换矩阵 P P P：
解：
【系统1】
A = [ 0 1 − 1 − 6 − 11 6 − 6 − 11 5 ] ， b = [ − 1 2 1 ] ， C = [ 1 0 0 0 1 − 1 ] ， d = [ 2 − 1 ] A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & -1\\ -6 & -11 & 6\\ -6 & -11 & 5 \end{bmatrix}，b=\begin{bmatrix} -1\\2\\1 \end{bmatrix}，C=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}，d=\begin{bmatrix} 2\\-1 \end{bmatrix} A=⎣⎡0−6−61−11−11−165⎦⎤，b=⎣⎡−121⎦⎤，C=[10010−1]，d=[2−1]
计算可得，矩阵 A A A的特征向量为： λ 1 = − 1 ， λ 2 = − 2 ， λ 3 = − 3 \lambda_1=-1，\lambda_2=-2，\lambda_3=-3 λ1=−1，λ2=−2，λ3=−3，分别对应的特征向量为：
v 1 = [ 1 0 1 ] ， v 2 = [ 1 2 4 ] ， v 3 = [ 1 6 9 ] v_1=\begin{bmatrix} 1\\0\\1 \end{bmatrix}，v_2=\begin{bmatrix} 1\\2\\4 \end{bmatrix}，v_3=\begin{bmatrix} 1\\6\\9 \end{bmatrix} v1=⎣⎡101⎦⎤，v2=⎣⎡124⎦⎤，v3=⎣⎡169⎦⎤
以上述特征向量构造基底变换矩阵 P P P，并计算 P − 1 P^{-1} P−1可得：
P = [ v 1 v 2 v 3 ] = [ 1 1 1 0 2 6 1 4 9 ] ， P − 1 = [ 3 2.5 − 2 − 3 − 4 3 1 1.5 − 1 ] P=\begin{bmatrix} v1 & v2 & v3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 6\\ 1 & 4 & 9 \end{bmatrix}，P^{-1}=\begin{bmatrix} 3 & 2.5 & -2\\ -3 & -4 & 3\\ 1 & 1.5 & -1 \end{bmatrix} P=[v1v2v3]=⎣⎡101124169⎦⎤，P−1=⎣⎡3−312.5−41.5−23−1⎦⎤
因此，变换后的对角标准型为：
A ‾ = P − 1 A P = [ − 1 0 0 0 − 2 0 0 0 − 3 ] ， b ‾ = P − 1 b = [ 0 − 2 1 ] C ‾ = C P = [ 1 1 1 − 1 − 2 − 3 ] ， d ‾ = [ 2 − 1 ] \begin{aligned} &\overline{A}=P^{-1}AP=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix}，&&\overline{b}=P^{-1}b=\begin{bmatrix} 0\\-2\\1 \end{bmatrix}\\\\ &\overline{C}=CP=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ -1 & -2 & -3 \end{bmatrix}，&&\overline{d}=\begin{bmatrix} 2\\-1 \end{bmatrix} \end{aligned} A=P−1AP=⎣⎡−1000−2000−3⎦⎤，C=CP=[1−11−21−3]，b=P−1b=⎣⎡0−21⎦⎤d=[2−1]
【系统2】
A = [ 0 1 0 0 0 1 0 − 2 − 2 ] ， B = [ 0 − 2 2 0 4 4 ] ， c = [ 0 0 1 ] ， d = [ 1 − 1 ] A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & -2 & -2 \end{bmatrix}，B=\begin{bmatrix} 0 & -2\\ 2 & 0\\ 4 & 4 \end{bmatrix}，c=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}，d=\begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix} A=⎣⎡00010−201−2⎦⎤，B=⎣⎡024−204⎦⎤，c=[001]，d=[1−1]
计算可得，矩阵 A A A的特征向量为： λ 1 = 0 ， λ 2 = − 1 + j ， λ 3 = − 1 − j \lambda_1=0，\lambda_2=-1+{\rm j}，\lambda_3=-1-{\rm j} λ1=0，λ2=−1+j，λ3=−1−j，分别对应的特征向量为：
v 1 = [ 1 0 0 ] ， v 2 = [ − 0.5 − 0.5 j 1 − 1 + j ] ， v 3 = [ − 0.5 + 0.5 j 1 − 1 − j ] v_1=\begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix}，v_2=\begin{bmatrix} -0.5-0.5{\rm j}\\ 1\\ -1+{\rm j} \end{bmatrix}，v_3=\begin{bmatrix} -0.5+0.5{\rm j}\\ 1\\ -1-{\rm j} \end{bmatrix} v1=⎣⎡100⎦⎤，v2=⎣⎡−0.5−0.5j1−1+j⎦⎤，v3=⎣⎡−0.5+0.5j1−1−j⎦⎤
以上述特征向量构造基底变换矩阵 P P P，并计算 P − 1 P^{-1} P−1可得：
P = [ v 1 v 2 v 3 ] = [ 1 − 0.5 − 0.5 j − 0.5 + 0.5 j 0 1 1 0 − 1 + j − 1 − j ] ， P − 1 = [ 1 1 0.5 0 0.5 − 0.5 j − 0.5 j 0 0.5 + 0.5 j 0.5 j ] P=\begin{bmatrix} v1 & v2 & v3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & -0.5-0.5{\rm j} & -0.5+0.5{\rm j}\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & -1+{\rm j} & -1-{\rm j} \end{bmatrix}，P^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0.5\\ 0 & 0.5-0.5{\rm j} & -0.5{\rm j}\\ 0 & 0.5+0.5{\rm j} & 0.5{\rm j} \end{bmatrix} P=[v1v2v3]=⎣⎡100−0.5−0.5j1−1+j−0.5+0.5j1−1−j⎦⎤，P−1=⎣⎡10010.5−0.5j0.5+0.5j0.5−0.5j0.5j⎦⎤
因此，变换后的对角标准型为：
A ‾ = P − 1 A P = [ 0 0 0 0 − 1 + j 0 0 0 − 1 − j ] ， B ‾ = P − 1 B = [ 4 0 1 − 3 j − 2 j 1 + 3 j 2 j ] c ‾ = c P = [ 0 − 1 + j − 1 − j ] ， d ‾ = [ 1 − 1 ] \begin{aligned} &\overline{A}=P^{-1}AP=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & -1+{\rm j} & 0\\ 0 & 0 & -1-{\rm j} \end{bmatrix}，&&\overline{B}=P^{-1}B=\begin{bmatrix} 4 & 0\\ 1-3{\rm j} & -2{\rm j}\\ 1+3{\rm j} & 2{\rm j} \end{bmatrix}\\\\ &\overline{c}=cP=\begin{bmatrix} 0 & -1+{\rm j} & -1-{\rm j} \end{bmatrix}，&&\overline{d}=\begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix} \end{aligned} A=P−1AP=⎣⎡0000−1+j000−1−j⎦⎤，c=cP=[0−1+j−1−j]，B=P−1B=⎣⎡41−3j1+3j0−2j2j⎦⎤d=[1−1]
【系统3】
A = [ 0 1 0 0 0 1 2 3 0 ] ， b = [ 2 1 5 ] ， c = [ 2 1 − 1 ] ， d = 0 A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 2 & 3 & 0 \end{bmatrix}，b=\begin{bmatrix} 2\\1\\5 \end{bmatrix}，c=\begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \end{bmatrix}，d=0 A=⎣⎡002103010⎦⎤，b=⎣⎡215⎦⎤，c=[21−1]，d=0
计算可得，矩阵 A A A的特征向量为： λ 1 = λ 2 = − 1 ， λ 3 = 2 \lambda_1=\lambda_2=-1，\lambda_3=2 λ1=λ2=−1，λ3=2，分别对应的特征向量为：
v 1 = [ 1 − 1 1 ] ， v 2 = [ 0 1 − 2 ] ， v 3 = [ 1 2 4 ] v_1=\begin{bmatrix} 1\\-1\\1 \end{bmatrix}，v_2=\begin{bmatrix} 0\\1\\-2 \end{bmatrix}，v_3=\begin{bmatrix} 1\\2\\4 \end{bmatrix} v1=⎣⎡1−11⎦⎤，v2=⎣⎡01−2⎦⎤，v3=⎣⎡124⎦⎤
以上述特征向量构造基底变换矩阵 P P P，并计算 P − 1 P^{-1} P−1可得：
P = [ v 1 v 2 v 3 ] = [ 1 0 1 − 1 1 2 1 − 2 4 ] ， P − 1 = 1 9 [ 8 − 2 − 1 6 3 − 3 1 2 1 ] P=\begin{bmatrix} v1 & v2 & v3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 2\\ 1 & -2 & 4 \end{bmatrix}，P^{-1}=\displaystyle\frac{1}{9}\begin{bmatrix} 8 & -2 & -1\\ 6 & 3 & -3\\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} P=[v1v2v3]=⎣⎡1−1101−2124⎦⎤，P−1=91⎣⎡861−232−1−31⎦⎤
因此，变换后的约当标准型为：
A ‾ = P − 1 A P = [ − 1 1 0 0 − 1 0 0 0 2 ] ， b ‾ = P − 1 b = [ 1 0 1 ] c ‾ = c P = [ 0 3 0 ] ， d ‾ = 0 \begin{aligned} &\overline{A}=P^{-1}AP=\begin{bmatrix} -1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}，&&\overline{b}=P^{-1}b=\begin{bmatrix} 1\\0\\1 \end{bmatrix}\\\\ &\overline{c}=cP=\begin{bmatrix} 0 & 3 & 0 \end{bmatrix}，&&\overline{d}=0 \end{aligned} A=P−1AP=⎣⎡−1001−10002⎦⎤，c=cP=[030]，b=P−1b=⎣⎡101⎦⎤d=0
【系统4】
A = [ 5 4 0 0 1 0 − 4 4 1 ] ， B = 0 ， C = [ 1 0 0 0 1 − 1 1 0 1 0 2 0 ] ， D = [ 0 0 0 0 0 1 1 0 ] A=\begin{bmatrix} 5 & 4 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -4 & 4 & 1 \end{bmatrix}，B=0，C=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}，D=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\\ 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} A=⎣⎡50−4414001⎦⎤，B=0，C=⎣⎢⎢⎡101001020−110⎦⎥⎥⎤，D=⎣⎢⎢⎡00010010⎦⎥⎥⎤
计算可得，矩阵 A A A的特征向量为： λ 1 = λ 2 = 1 ， λ 3 = 5 \lambda_1=\lambda_2=1，\lambda_3=5 λ1=λ2=1，λ3=5，分别对应的特征向量为：
v 1 = [ 0 0 8 ] ， v 2 = [ − 1 1 − 1 ] ， v 3 = [ 1 0 − 1 ] v_1=\begin{bmatrix} 0\\0\\8 \end{bmatrix}，v_2=\begin{bmatrix} -1\\1\\-1 \end{bmatrix}，v_3=\begin{bmatrix} 1\\0\\-1 \end{bmatrix} v1=⎣⎡008⎦⎤，v2=⎣⎡−11−1⎦⎤，v3=⎣⎡10−1⎦⎤
以上述特征向量构造基底变换矩阵 P P P，并计算 P − 1 P^{-1} P−1可得：
P = [ v 1 v 2 v 3 ] = [ 0 − 1 1 0 1 0 8 − 1 − 1 ] ， P − 1 = 1 8 [ 1 2 1 0 8 0 8 8 0 ] P=\begin{bmatrix} v1 & v2 & v3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 8 & -1 & -1 \end{bmatrix}，P^{-1}=\displaystyle\frac{1}{8}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 8 & 0\\ 8 & 8 & 0 \end{bmatrix} P=[v1v2v3]=⎣⎡008−11−110−1⎦⎤，P−1=81⎣⎡108288100⎦⎤
因此，变换后的约当标准型为：
A ‾ = P − 1 A P = [ 1 1 0 0 1 0 0 0 5 ] ， B ‾ = P − 1 B = 0 C ‾ = C P = [ 0 − 1 1 − 8 2 1 8 − 2 0 0 2 0 ] ， D ‾ = [ 0 0 0 0 0 1 1 0 ] \begin{aligned} &\overline{A}=P^{-1}AP=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}，&&\overline{B}=P^{-1}B=0\\\\ &\overline{C}=CP=\begin{bmatrix} 0 & -1 & 1\\ -8 & 2 & 1\\ 8 & -2 & 0\\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}，&&\overline{D}=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\\ 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} A=P−1AP=⎣⎡100110005⎦⎤，C=CP=⎣⎢⎢⎡0−880−12−221100⎦⎥⎥⎤，B=P−1B=0D=⎣⎢⎢⎡00010010⎦⎥⎥⎤
【系统5】
A = [ 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 − 1 − 1 − 2 − 2 − 1 ] ， b = [ 1 0 0 0 1 ] ， C = [ 1 0 − 1 0 0 − 2 0 2 0 0 ] ， d = 0 A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ -1 & -1 & -2 & -2 & -1 \end{bmatrix}，b=\begin{bmatrix} 1\\0\\0\\0\\1 \end{bmatrix}，C=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 0\\ -2 & 0 & 2 & 0 & 0 \end{bmatrix}，d=0 A=⎣⎢⎢⎢⎢⎡0000−11000−10100−20010−20001−1⎦⎥⎥⎥⎥⎤，b=⎣⎢⎢⎢⎢⎡10001⎦⎥⎥⎥⎥⎤，C=[1−200−120000]，d=0
计算可得，矩阵 A A A的特征向量为： λ 1 = λ 2 = j ， λ 3 = λ 4 = − j ， λ 5 = − 1 \lambda_1=\lambda_2={\rm j}，\lambda_3=\lambda_4=-{\rm j}，\lambda_5=-1 λ1=λ2=j，λ3=λ4=−j，λ5=−1，分别对应的特征向量为：
v 1 = [ 1 j − 1 − j 1 ] ， v 2 = [ 0 1 2 j − 3 − 4 j ] ， v 3 = [ 1 − j − 1 j 1 ] ， v 4 = [ 0 1 − 2 j − 3 4 j ] ， v 5 = [ 1 − 1 1 − 1 1 ] v_1=\begin{bmatrix} 1\\ {\rm j}\\ -1\\ -{\rm j}\\ 1 \end{bmatrix}，v_2=\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 2{\rm j}\\ -3\\ -4{\rm j} \end{bmatrix}，v_3=\begin{bmatrix} 1\\ -{\rm j}\\ -1\\ {\rm j}\\ 1 \end{bmatrix}，v_4=\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ -2{\rm j}\\ -3\\ 4{\rm j} \end{bmatrix}，v_5=\begin{bmatrix} 1\\ -1\\ 1\\ -1\\ 1 \end{bmatrix} v1=⎣⎢⎢⎢⎢⎡1j−1−j1⎦⎥⎥⎥⎥⎤，v2=⎣⎢⎢⎢⎢⎡012j−3−4j⎦⎥⎥⎥⎥⎤，v3=⎣⎢⎢⎢⎢⎡1−j−1j1⎦⎥⎥⎥⎥⎤，v4=⎣⎢⎢⎢⎢⎡01−2j−34j⎦⎥⎥⎥⎥⎤，v5=⎣⎢⎢⎢⎢⎡1−11−11⎦⎥⎥⎥⎥⎤
以上述特征向量构造基底变换矩阵 P P P，并计算 P − 1 P^{-1} P−1可得：
P = [ 1 0 1 0 1 j 1 − j 1 − 1 − 1 2 j − 1 − 2 j 1 − j − 3 j − 3 − 1 1 − 4 j 1 4 j 1 ] ， P − 1 = [ 3 − 2 j − 6 j − 2 − 4 j − 2 j − 1 − 2 j − 1 − j − 2 − 2 − 2 − 1 + j 3 + 2 j 6 j − 2 + 4 j 2 j − 1 + 2 j − 1 + j − 2 − 2 − 2 − 1 − j 2 0 4 0 2 ] P= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\ {\rm j} & 1 & -{\rm j} & 1 & -1\\ -1 & 2{\rm j} & -1 & -2{\rm j} & 1\\ -{\rm j} & -3 & {\rm j} & -3 & -1\\ 1 & -4{\rm j} & 1 & 4{\rm j} & 1 \end{bmatrix}，P^{-1}=\begin{bmatrix} 3-2{\rm j} & -6{\rm j} & -2-4{\rm j} & -2{\rm j} & -1-2{\rm j}\\ -1-{\rm j} & -2 & -2 & -2 & -1+{\rm j}\\ 3+2{\rm j} & 6{\rm j} & -2+4{\rm j} & 2{\rm j} & -1+2{\rm j}\\ -1+{\rm j} & -2 & -2 & -2 & -1-{\rm j}\\ 2 & 0 & 4 & 0 & 2 \end{bmatrix} P=⎣⎢⎢⎢⎢⎡1j−1−j1012j−3−4j1−j−1j101−2j−34j1−11−11⎦⎥⎥⎥⎥⎤，P−1=⎣⎢⎢⎢⎢⎡3−2j−1−j3+2j−1+j2−6j−26j−20−2−4j−2−2+4j−24−2j−22j−20−1−2j−1+j−1+2j−1−j2⎦⎥⎥⎥⎥⎤
因此，变换后的约当标准型为：
A ‾ = P − 1 A P = [ j 1 0 0 0 0 j 0 0 0 0 0 − j 1 0 0 0 0 − j 0 0 0 0 0 − 1 ] ， b ‾ = P − 1 b = 1 4 [ 1 − 2 j − 1 1 + 2 j − 1 2 ] C ‾ = C P = [ 2 − 2 j 2 2 j 0 − 4 4 j − 4 − 4 j 0 ] ， d ‾ = 0 \begin{aligned} &\overline{A}=P^{-1}AP=\begin{bmatrix} {\rm j} & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & {\rm j} & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -{\rm j} & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -{\rm j} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}，&&\overline{b}=P^{-1}b=\displaystyle\frac{1}{4}\begin{bmatrix} 1-2{\rm j}\\ -1\\ 1+2{\rm j}\\ -1\\ 2 \end{bmatrix}\\\\ &\overline{C}=CP=\begin{bmatrix} 2 & -2{\rm j} & 2 & 2{\rm j} & 0\\ -4 & 4{\rm j} & -4 & -4{\rm j} & 0 \end{bmatrix}，&&\overline{d}=0 \end{aligned} A=P−1AP=⎣⎢⎢⎢⎢⎡j00001j00000−j00001−j00000−1⎦⎥⎥⎥⎥⎤，C=CP=[2−4−2j4j2−42j−4j00]，b=P−1b=41⎣⎢⎢⎢⎢⎡1−2j−11+2j−12⎦⎥⎥⎥⎥⎤d=0
Example 9.25
判断下列连续时间系统 ( A , b , c ) (A,b,c) (A,b,c)的可控性、可观测性和输出可控性。
解：
【系统1】
A = [ − a 0 0 0 0 − b 0 0 0 0 − c 0 0 0 0 − d ] ， b = [ 0 0 1 1 ] ， c = [ 1 0 0 0 ] A=\begin{bmatrix} -a & 0 & 0 & 0\\ 0 & -b & 0 & 0\\ 0 & 0 & -c & 0\\ 0 & 0 & 0 & -d \end{bmatrix}，b=\begin{bmatrix} 0\\0\\1\\1 \end{bmatrix}，c=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} A=⎣⎢⎢⎡−a0000−b0000−c0000−d⎦⎥⎥⎤，b=⎣⎢⎢⎡0011⎦⎥⎥⎤，c=[1000]
由于 A A A为对角阵， A A A阵中对角元素对应的 b b b中行元素与 c c c中列元素有零项，因此系统不可控，也不可观测。
由系统的输出可控性矩阵：
r a n k S o = r a n k [ c b c A b c A 2 b c A 3 b ] = r a n k [ 0 0 0 0 = 0 ] < 1 = q {\rm rank}S_o={\rm rank}\begin{bmatrix} cb & cAb & cA^2b & cA^3b \end{bmatrix}={\rm rank}\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0=0 \end{bmatrix}<1=q rankSo=rank[cbcAbcA2bcA3b]=rank[0000=0]<1=q
所以系统输出不可控。
【系统2】
A = [ − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 2 0 0 0 0 − 2 ] ， b = [ 1 1 1 1 ] ， c = [ 1 1 1 1 ] A=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}，b=\begin{bmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{bmatrix}，c=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} A=⎣⎢⎢⎡−10000−10000−20000−2⎦⎥⎥⎤，b=⎣⎢⎢⎡1111⎦⎥⎥⎤，c=[1111]
由于 A A A阵中存在两个同一元素的约当块，两个约当块分别对应的 b b b中行向量的最后一行组成的向量 [ 1 1 ] T \begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}^T [11]T行线性相关，所以系统不可控；
由于 A A A阵中存在两个同一元素的约当块，两个约当块分别对应的 c c c中列向量的第一列组成的向量 [ 1 1 ] \begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix} [11]列线性相关，所以系统不可观测；
由系统的输出可控性矩阵：
r a n k S o = r a n k [ c b c A b c A 2 b c A 3 b ] = r a n k [ 0 0 0 0 = 0 ] = 1 = q {\rm rank}S_o={\rm rank}\begin{bmatrix} cb & cAb & cA^2b & cA^3b \end{bmatrix}={\rm rank}\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0=0 \end{bmatrix}=1=q rankSo=rank[cbcAbcA2bcA3b]=rank[0000=0]=1=q
所以系统输出可控。
【系统3】
A = [ − 4 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 2 0 0 0 0 − 3 ] ， b = [ 1 0 1 1 ] ， c = [ 1 1 0 1 ] A=\begin{bmatrix} -4 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{bmatrix}，b=\begin{bmatrix} 1\\0\\1\\1 \end{bmatrix}，c=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} A=⎣⎢⎢⎡−40000−10000−20000−3⎦⎥⎥⎤，b=⎣⎢⎢⎡1011⎦⎥⎥⎤，c=[1101]
由于 A A A为对角阵， A A A阵中对角元素对应的 b b b中行元素与 c c c中列元素有零项，因此系统不可控，也不可观测。
由系统的输出可控性矩阵：
r a n k S o = r a n k [ c b c A b c A 2 b c A 3 b ] = r a n k [ 0 0 0 0 = 0 ] = 1 = q {\rm rank}S_o={\rm rank}\begin{bmatrix} cb & cAb & cA^2b & cA^3b \end{bmatrix}={\rm rank}\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0=0 \end{bmatrix}=1=q rankSo=rank[cbcAbcA2bcA3b]=rank[0000=0]=1=q
所以系统输出可控。
【系统4】
A = [ 1 1 0 0 1 0 0 1 1 ] ， b = [ 0 1 0 ] ， c = [ 1 0 0 ] A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}，b=\begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end{bmatrix}，c=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} A=⎣⎡100111001⎦⎤，b=⎣⎡010⎦⎤，c=[100]
系统可控性矩阵为：
S = [ b A b A 2 b ] = [ 0 1 2 1 1 1 0 1 2 ] S=\begin{bmatrix} b & Ab & A^2b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} S=[bAbA2b]=⎣⎡010111212⎦⎤
由于 r a n k S = 2 < n = 3 {\rm rank}S=2<n=3 rankS=2<n=3，所以系统不可控。
系统的可观测性矩阵为：
V = [ c c A c A 2 ] = [ 1 0 0 1 1 0 1 2 0 ] V=\begin{bmatrix} c\\cA\\cA^2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} V=⎣⎡ccAcA2⎦⎤=⎣⎡111012000⎦⎤
由于 r a n k V = 2 < n = 3 {\rm rank}V=2<n=3 rankV=2<n=3，所以系统不可观测。
系统的输出可控性矩阵为：
r a n k S o = r a n k [ c b c A b c A 2 b ] = 1 = q {\rm rank}S_o={\rm rank}\begin{bmatrix} cb & cAb & cA^2b \end{bmatrix}=1=q rankSo=rank[cbcAbcA2b]=1=q
所以系统输出可控。
【系统5】
A = [ 0 1 0 0 0 1 − 6 − 11 − 6 ] ， b = [ 0 0 1 ] ， c = [ 0 0 0 ] A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ -6 & -11 & -6 \end{bmatrix}，b=\begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}，c=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} A=⎣⎡00−610−1101−6⎦⎤，b=⎣⎡001⎦⎤，c=[000]
由于系统为可控标准型形式，因此系统可控。由于 c = [ 0 0 0 ] c=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\end{bmatrix} c=[000]，则系统不可观测，输出不可控。
【系统6】
A = [ − 1 − 2 − 2 0 − 1 1 1 0 − 1 ] ， b = [ 2 0 1 ] ， c = [ 1 1 0 ] A=\begin{bmatrix} -1 & -2 & -2\\ 0 & -1 & 1\\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}，b=\begin{bmatrix} 2\\0\\1 \end{bmatrix}，c=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} A=⎣⎡−101−2−10−21−1⎦⎤，b=⎣⎡201⎦⎤，c=[110]
系统可控性矩阵为：
S = [ b A b A 2 b ] = [ 2 − 4 0 0 1 0 1 1 − 5 ] S=\begin{bmatrix} b & Ab & A^2b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & -4 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & -5 \end{bmatrix} S=[bAbA2b]=⎣⎡201−41100−5⎦⎤
由于 r a n k S = 3 = n {\rm rank}S=3=n rankS=3=n，所以系统可控。
系统的可观测性矩阵为：
V = [ c c A c A 2 ] = [ 1 1 0 − 1 − 3 − 1 0 5 0 ] V=\begin{bmatrix} c\\cA\\cA^2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ -1 & -3 & -1\\ 0 & 5 & 0 \end{bmatrix} V=⎣⎡ccAcA2⎦⎤=⎣⎡1−101−350−10⎦⎤
由于 r a n k V = 3 = n {\rm rank}V=3=n rankV=3=n，所以系统可观测。
系统的输出可控性矩阵为：
r a n k S o = r a n k [ c b c A b c A 2 b ] = 1 = q {\rm rank}S_o={\rm rank}\begin{bmatrix} cb & cAb & cA^2b \end{bmatrix}=1=q rankSo=rank[cbcAbcA2b]=1=q
所以系统输出可控。
【系统7】
A = [ 2 0 0 0 2 0 0 3 1 ] ， b = [ 1 1 0 ] ， c = [ 1 1 1 ] A=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 3 & 1 \end{bmatrix}，b=\begin{bmatrix} 1\\1\\0 \end{bmatrix}，c=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} A=⎣⎡200023001⎦⎤，b=⎣⎡110⎦⎤，c=[111]
系统可控性矩阵为：
S = [ b A b A 2 b ] = [ 1 2 4 1 2 4 0 3 9 ] S=\begin{bmatrix} b & Ab & A^2b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4\\ 1 & 2 & 4\\ 0 & 3 & 9 \end{bmatrix} S=[bAbA2b]=⎣⎡110223449⎦⎤
由于 r a n k S = 2 < n = 3 {\rm rank}S=2<n=3 rankS=2<n=3，所以系统不可控。
系统的可观测性矩阵为：
V = [ c c A c A 2 ] = [ 1 1 1 2 5 1 4 13 1 ] V=\begin{bmatrix} c\\cA\\cA^2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 5 & 1\\ 4 & 13 & 1 \end{bmatrix} V=⎣⎡ccAcA2⎦⎤=⎣⎡1241513111⎦⎤
由于 r a n k V = 2 < n = 3 {\rm rank}V=2<n=3 rankV=2<n=3，所以系统不可观测。
系统的输出可控性矩阵为：
r a n k S o = r a n k [ c b c A b c A 2 b ] = 1 = q {\rm rank}S_o={\rm rank}\begin{bmatrix} cb & cAb & cA^2b \end{bmatrix}=1=q rankSo=rank[cbcAbcA2b]=1=q
所以系统输出可控。