Chapter9.1：线性系统状态空间基础(下)

该系列博客主要讲述Matlab软件在自动控制方面的应用，如无自动控制理论基础，请先学习自动控制系列博文，该系列博客不再详细讲解自动控制理论知识。
自动控制理论基础相关链接：https://blog.csdn.net/qq_39032096/category_10287468.html?spm=1001.2014.3001.5482
博客参考书籍：《MATLAB/Simulink与控制系统仿真》。

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1.线性系统状态空间基础

1.3 线性定常连续系统状态方程的解

1.3.1 齐次状态方程的解

状态方程为：
$$\dot{x}(t)=Ax(t)$$
上式称为齐次状态方程，通常采用幂级数法和拉普拉斯变换法求解；

1. 幂级数法

   设齐次状态方程的解是$t$的向量幂级数，
   $$x(t)=b_0+b_{1}t+b_2{t}^2+\cdots +b_k{t}^k+\cdots +$$
   式中，$x,b_0,b_1,\dots ,b_k,\dots$都是$n$维向量；
   $$\dot{x}(t)=b_1+2b_{2}t+\cdots +k{b}_k{t}^{k-1}+\cdots =A(b_0+b_{1}t+b_2{t}^2+\cdots +b_k{t}^k+\dots )$$
   可得：
   $$x(t)=\left(I+At+\frac{1}{2}{A}^2{t}^2+\cdots +\frac{1}{k!}{A}^k{t}^k+\cdots +\right)x(0)$$
   定义：
   $${\mathrm{e}}^{At}=I+At+\frac{1}{2}{A}^2{t}^2+\cdots +\frac{1}{k!}{A}^k{t}^k+\cdots +=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}{A}^k{t}^k$$
   则有：
   $$x(t)={\mathrm{e}}^{At}x(0)$$
   标量微分方程$\dot{x}=ax$的解为：$x(t)={\mathrm{e}}^{at}x(0)，{\mathrm{e}}^{at}$称为指数函数，向量微分方程具有相似形式的解，故把${\mathrm{e}}^{At}$称为矩阵指数函数，简称矩阵指数；由于$x(t)$由$x(0)$转移而来，对于线性定常系统，${\mathrm{e}}^{At}$亦称状态转移矩阵，记为$\Phi (t)$，即：
   $$\Phi (t)={\mathrm{e}}^{At}$$

2. 拉普拉斯变换法

   状态方程：
   $$\dot{x}(t)=Ax(t)$$
   将上式进行拉氏变换，
   $$sX(s)=AX(s)+x(0)$$
   则有：
   $$X(s)=(sI-A{)}^{-1}x(0)$$
   进行拉氏反变换：
   $$x(t)=L^{-1}\left[(sI-A{)}^{-1}\right]x(0)$$
   可得：
   $${\mathrm{e}}^{At}=L^{-1}\left[(sI-A{)}^{-1}\right]$$

1.3.2 状态转移矩阵的运算性质

状态转移矩阵$\Phi (t)$的幂级数展开式：
$$\Phi (t)={\mathrm{e}}^{At}=I+At+\frac{1}{2}{A}^2{t}^2+\cdots +\frac{1}{k!}{A}^k{t}^k+\cdots$$

1. $\Phi (0)=I$；

2. $\dot{\Phi }(t)=A\Phi (t)=\Phi (t)A$；

3. $\Phi (t_1\pm t_2)=\Phi (t_1)\Phi (\pm t_2)=\Phi (\pm t_2)\Phi (t_1)$；

4. ${\Phi }^{-1}(t)=\Phi (-t),{\Phi }^{-1}(-t)=\Phi (t)$；

5. $x(t_2)=\Phi (t_2-t_1)x(t_1)$；

6. $\Phi (t_2-t_0)=\Phi (t_2-t_1)\Phi (t_1-t_0)$；

7. $[\Phi (t){]}^k=\Phi (kt)$；

8. 若$\Phi (t)$为$\dot{x}(t)=Ax(t)$的状态转移矩阵，则引入非奇异变换$x=P\overline{x}$后的状态转移矩阵为：$\overline{\Phi }(t)=P^{-1}{\mathrm{e}}^{At}P$;

9. 两种常见的状态转移矩阵；设$A=\mathrm{diag}[{\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n]$，即$A$为对角阵，且具有互异元素，则：
   $$\Phi (t)=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}t}& & & \\ & {\mathrm{e}}^{{\lambda }_{2}t}& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\mathrm{e}}^{{\lambda }_{n}t}\end{array}\right]$$
   设$A$阵为$m\times m$约当阵：
   $$A=\left[\begin{array}{cccc}\lambda & 1& & \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ & & & \lambda \end{array}\right]$$
   则：
   $$\Phi (t)=\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{e}}^{\lambda t}& t{\mathrm{e}}^{\lambda t}& \frac{t^2}{2}{\mathrm{e}}^{\lambda t}& \cdots & \frac{t^{m-1}}{(m-1)!}{\mathrm{e}}^{\lambda t}\\ 0& {\mathrm{e}}^{\lambda t}& t{\mathrm{e}}^{\lambda t}& \cdots & \frac{t^{m-2}}{(m-2)!}{\mathrm{e}}^{\lambda t}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & t{\mathrm{e}}^{\lambda t}\\ 0& 0& 0& \cdots & {\mathrm{e}}^{\lambda t}\end{array}\right]$$
   实例分析：

   Example4： 设状态方程为：
   $$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1(t)\\ {\dot{x}}_2(t)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right]$$
   求状态方程的解.

   解：

   用拉氏变换求解：
   $$sI-A=\left[\begin{array}{cc}s& 0\\ 0& s\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& -3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}s& -1\\ 2& s+3\end{array}\right]$$

   $$\begin{array}{rl}(sI-A{)}^{-1}& =\frac{\mathrm{adj}(sI-A)}{|sI-A|}=\frac{1}{(s+1)(s+2)}\left[\begin{array}{cc}s+3& 1\\ -2& s\end{array}\right]\\ & \\ & =\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{s+1}-\frac{1}{s+2}& \frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}\\ & \\ \frac{-2}{s+1}+\frac{2}{s+2}& \frac{-1}{s+1}+\frac{2}{s+2}\end{array}\right]\end{array}$$

   可得：
   $$\Phi (t)=L^{-1}\left[(sI-A{)}^{-1}\right]=\left[\begin{array}{cc}2{\mathrm{e}}^{-t}-{\mathrm{e}}^{-2t}& {\mathrm{e}}^{-t}-{\mathrm{e}}^{-2t}\\ -2{\mathrm{e}}^{-t}+2{\mathrm{e}}^{-2t}& -{\mathrm{e}}^{-t}+2{\mathrm{e}}^{-2t}\end{array}\right]$$
   状态方程的解为：
   $$\left[\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right]=\Phi (t)\left[\begin{array}{c}{x}_1(0)\\ x_2(0)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2{\mathrm{e}}^{-t}-{\mathrm{e}}^{-2t}& {\mathrm{e}}^{-t}-{\mathrm{e}}^{-2t}\\ -2{\mathrm{e}}^{-t}+2{\mathrm{e}}^{-2t}& -{\mathrm{e}}^{-t}+2{\mathrm{e}}^{-2t}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1(0)\\ x_2(0)\end{array}\right]$$

1.3.3 非齐次状态方程的解

非齐次状态方程如下：
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$$
方程的解为：
$$x(t)=\Phi (t)x(0)+{\int }_0^t\Phi (t-\tau )Bu(\tau )\mathrm{d}\tau$$
式中第一项是对初始状态的响应，第二项是对输入作用的响应；

亦可表示为：
$$x(t)=\Phi (t)x(0)+{\int }_0^t\Phi (\tau )Bu(t-\tau )\mathrm{d}\tau$$
实例分析：

Example5： 系统状态方程为：
$$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]u$$
且$x(0)={\left[\begin{array}{cc}{x}_1(0)& x_2(0)\end{array}\right]}^T$；求在$u(t)=1(t)$作用下状态方程的解；

解：

由于：$u(t)=1,u(t-\tau )=1$，可得：
$$x(t)=\Phi (t)x(0)+{\int }_0^t\Phi (t)B\mathrm{d}\tau$$

$$sI-A=\left[\begin{array}{cc}s& 0\\ 0& s\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& -3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}s& -1\\ 2& s+3\end{array}\right]$$

$$\begin{array}{rl}(sI-A{)}^{-1}& =\frac{\mathrm{adj}(sI-A)}{|sI-A|}=\frac{1}{(s+1)(s+2)}\left[\begin{array}{cc}s+3& 1\\ -2& s\end{array}\right]\\ & \\ & =\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{s+1}-\frac{1}{s+2}& \frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}\\ & \\ \frac{-2}{s+1}+\frac{2}{s+2}& \frac{-1}{s+1}+\frac{2}{s+2}\end{array}\right]\end{array}$$

$$\Phi (t)=L^{-1}\left[(sI-A{)}^{-1}\right]=\left[\begin{array}{cc}2{\mathrm{e}}^{-t}-{\mathrm{e}}^{-2t}& {\mathrm{e}}^{-t}-{\mathrm{e}}^{-2t}\\ -2{\mathrm{e}}^{-t}+2{\mathrm{e}}^{-2t}& -{\mathrm{e}}^{-t}+2{\mathrm{e}}^{-2t}\end{array}\right]$$

$${\int }_0^t\Phi (\tau )B\mathrm{d}\tau ={\int }_0^t\left[\begin{array}{c}{\mathrm{e}}^{-\tau }-{\mathrm{e}}^{-2\tau }\\ -{\mathrm{e}}^{-\tau }+2{\mathrm{e}}^{-2\tau }\end{array}\right]\mathrm{d}\tau ={\left[\begin{array}{c}-{\mathrm{e}}^{-\tau }+\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-2\tau }\\ {\mathrm{e}}^{-\tau }-{\mathrm{e}}^{-2\tau }\end{array}\right]|}_0^t=\left[\begin{array}{c}-{\mathrm{e}}^{-t}+\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-2t}+\frac{1}{2}\\ {\mathrm{e}}^{-t}-{\mathrm{e}}^{-2t}\end{array}\right]$$

因此：
$$x(t)=\left[\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2{\mathrm{e}}^{-t}-{\mathrm{e}}^{-2t}& {\mathrm{e}}^{-t}-{\mathrm{e}}^{-2t}\\ -2{\mathrm{e}}^{-t}+2{\mathrm{e}}^{-2t}& -{\mathrm{e}}^{-t}+2{\mathrm{e}}^{-2t}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1(0)\\ x_2(0)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-{\mathrm{e}}^{-t}+\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-2t}+\frac{1}{2}\\ {\mathrm{e}}^{-t}-{\mathrm{e}}^{-2t}\end{array}\right]$$

1.4 系统的传递函数矩阵

初始条件为零时，输出向量的拉氏变换式与输入向量的拉氏变换式之间的传递关系称为传递函数矩阵，简称传递矩阵；设动态方程为：
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t)+Du(t)$$
令初始条件为零，进行拉氏变换：
$$Y(s)=\left[C(sI-A{)}^{-1}B+D\right]U(s)=G(s)U(s)$$
系统的传递函数矩阵表达式为：
$$G(s)=C(sI-A{)}^{-1}B+D$$
若输入$u$为$p$维向量，输出$y$维$q$维向量，则$G(s)$为$q\times p$矩阵；

展开式：
$$\left[\begin{array}{c}{Y}_1(s)\\ Y_2(s)\\ ⋮\\ Y_q(s)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{G}_{11}(s)& G_{12(s)}& \cdots & G_{1p}(s)\\ G_{21}(s)& G_{22(s)}& \cdots & G_{2p}(s)\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ G_{q1}(s)& G_{q2(s)}& \cdots & G_{qp}(s)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{U}_1(s)\\ U_2(s)\\ ⋮\\ U_p(s)\end{array}\right]$$
式中：$G_{ij}(s)(i=1,2,\dots ,q;j=1,2,\dots ,p)$表示第$i$个输出量与第$j$个输入量之间的传递函数；

实例分析：

Example6： 已知系统动态方程为：
$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right]\\ & \\ & \left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]\end{array}$$
求系统的传递矩阵.

解：

由题设可知，
$$A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& -2\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],D=0$$
故：
$$(sI-A{)}^{-1}={\left[\begin{array}{cc}s& -1\\ 0& s+2\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{s}& \frac{1}{s(s+2)}\\ & \\ 0& \frac{1}{s+2}\end{array}\right]$$
可得系统传递矩阵：
$$G(s)=C(sI-A{)}^{-1}B+D=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{s}& \frac{1}{s(s+2)}\\ & \\ 0& \frac{1}{s+2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{s}& \frac{1}{s(s+2)}\\ & \\ 0& \frac{1}{s+2}\end{array}\right]$$

1.5 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解

• 离散系统特点：系统中的各个变量被处理成为只在离散时刻取值，其状态空间描述只反映离散时刻的变量组间的因果关系和转换关系，因而这类系统通常称为离散时间系统，简称离散系统；
• 线性离散系统的动态方程可以利用系统的差分方程建立，可以利用线性连续动态方程的离散化得到；

1.5.1 由差分方程建立动态方程

经典控制理论中离散系统通常用差分方程或脉冲传递函数描述，单输入-单输出线性定常离散系统差分方程的一般形式为：
$$\begin{array}{rl}& y(k+n)+a_{n-1}y(k+n-1)+\cdots +a_{1}y(k+1)+a_{0}y(k)\\ & \\ =& b_{n}u(k+n)+b_{n-1}u(k+n-1)+\cdots +b_{1}u(k+1)+b_{0}u(k)\end{array}$$
其中：$k$表示$kT$时刻，$T$为采样周期，$y(k),u(k)$分别为$kT$时刻的输出量和输入量；$a_i,b_i(i=0,1,2,\dots ,n,且a_n=1)$为表征系统特性的常系数；

考虑初始条件为零时的$z$变换关系有：
$$Z[y(k)]=Y(z),Z[y(k+i)]=z^{i}Y(z)$$
对差分方程取$z$变换，可得：
$$\begin{array}{rl}G(z)& =\frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{b_n{z}^n+b_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +b_{1}z+b_0}{z^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_0}\\ & \\ & =b_n+\frac{{\beta }_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +{\beta }_{1}z+{\beta }_0}{z^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_0}=b_n+\frac{N(z)}{D(z)}\end{array}$$
$G(z)$称为脉冲传递函数；

$N(z)/D(z)$串联分解，引入中间变量$Q(z)$，有：
$$\begin{array}{rl}& z^{n}Q(z)+a_{n-1}{z}^{n-1}Q(z)+\cdots +a_{1}zQ(z)+a_{0}Q(z)=U(z)\\ & \\ & Y(z)={\beta }_{n-1}{z}^{n-1}Q(z)+\cdots +{\beta }_{1}zQ(z)+{\beta }_{0}Q(z)\end{array}$$
最后向量-矩阵形式为：
$$\left[\begin{array}{c}{x}_1(k+1)\\ x_2(k+1)\\ ⋮\\ x_{n-1}(k+1)\\ x_n(k+1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ -a_0& -a_1& -a_2& \cdots & -a_{n-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1(k)\\ x_2(k)\\ ⋮\\ x_{n-1}(k)\\ x_n(k)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ 1\end{array}\right]u(k)$$

$$y(k)=\left[\begin{array}{cccc}{\beta }_0& {\beta }_1& \cdots & {\beta }_{n-1}\end{array}\right]x(k)+b_{n}u(k)$$

简记：
$$\begin{array}{rl}& x(k+1)=Gx(k)+hu(k)\\ & \\ & y(k)=cx(k)+du(k)\end{array}$$
其中：$G$为友矩阵，$G,h$为可控标准型；

离散系统状态方程描述了$(k+1)T$时刻的状态与$kT$时刻的状态及输入量之间的关系，其输出方程描述了$kT$时刻输出量与$kT$时刻的状态及输入量之间的关系；

线性定常多输入-多输出离散系统的动态方程为：
$$\begin{array}{rl}& x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)\\ & \\ & y(k)=Cx(k)+Du(k)\end{array}$$

1.5.2 定常连续动态方程的离散化

已知定常连续系统状态方程：$\dot{x}=Ax+Bu$在$x(t_0)$及$u(t)$作用下的解为：
$$x(t)=\Phi (t-t_0)x(t_0)+{\int }_{t_0}^T\Phi (t-\tau )Bu(\tau )\mathrm{d}\tau$$
离散化状态方程为：
$$x(k+1)=\Phi (T)x(k)+G(T)u(k)$$
其中：
$$G(T)={\int }_0^T\Phi ({\tau }^{\prime })B\mathrm{d}{\tau }^{\prime }和\Phi (T)=\Phi (t){|}_{t=T}$$
离散化系统的输出方程：
$$y(k)=Cx(k)+Du(k)$$

1.5.3 定常离散动态方程的解

离散化状态方程的解，亦称离散化状态转移方程：
$$x(k)={\Phi }^k(T)x(0)+\sum _{i=0}^{k-1}{\Phi }^{k-1-i}(T)G(T)u(i)$$
当$u(i)=0(i=0,1,\cdots ,k-1)$时，有：
$$x(k)={\Phi }^k(T)x(0)=\Phi (kT)x(0)=\Phi (k)x(0)$$
其中：$\Phi (k)$称为离散化系统动态转移矩阵；

输出方程为：
$$y(k)=Cx(k)+Du(k)=C{\Phi }^k(T)x(0)+C\sum _{i=0}^{k-1}{\Phi }^{k-1-i}(T)G(T)u(i)+Du(k)$$
使用递推法可得离散动态方程的解：
$$\begin{array}{rl}& x(k)=G^{k}x(0)+\sum _{i=0}^{k-1}{G}^{k-1-i}Hu(i)\\ & y(k)=C{G}^{k}x(0)+C\sum _{i=0}^{k-1}{G}^{k-1-i}Hu(i)+Du(k)\end{array}$$
式中：$G^k$表示$k$个$G$相乘；

实例分析：

Example8： 已知连续时间系统的状态方程为：
$$\dot{x}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& -3\end{array}\right]x+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]u$$
设$T=1$，求相应离散时间状态方程.

解：
$$sI-A=\left[\begin{array}{cc}s& 0\\ 0& s\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& -3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}s& -1\\ 2& s+3\end{array}\right]$$

$$\begin{array}{rl}(sI-A{)}^{-1}& =\frac{\mathrm{adj}(sI-A)}{|sI-A|}=\frac{1}{(s+1)(s+2)}\left[\begin{array}{cc}s+3& 1\\ -2& s\end{array}\right]\\ & \\ & =\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{s+1}-\frac{1}{s+2}& \frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}\\ & \\ \frac{-2}{s+1}+\frac{2}{s+2}& \frac{-1}{s+1}+\frac{2}{s+2}\end{array}\right]\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& \Phi (t)=L^{-1}\left[(sI-A{)}^{-1}\right]=\left[\begin{array}{cc}2{\mathrm{e}}^{-t}-{\mathrm{e}}^{-2t}& {\mathrm{e}}^{-t}-{\mathrm{e}}^{-2t}\\ -2{\mathrm{e}}^{-t}+2{\mathrm{e}}^{-2t}& -{\mathrm{e}}^{-t}+2{\mathrm{e}}^{-2t}\end{array}\right]\\ & \\ & \Phi (T)=\Phi (t){|}_{t=T=1}=\left[\begin{array}{cc}0.6004& 0.2325\\ -0.4651& -0.0972\end{array}\right]\end{array}$$

$$G(T)={\int }_0^T\Phi (\tau )B\mathrm{d}\tau ={\int }_0^T\left[\begin{array}{c}{\mathrm{e}}^{-\tau }-{\mathrm{e}}^{-2\tau }\\ -{\mathrm{e}}^{-\tau }+2{\mathrm{e}}^{-2\tau }\end{array}\right]\mathrm{d}\tau =\left[\begin{array}{c}\frac{1}{2}-{\mathrm{e}}^{-T}+\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-2T}\\ {\mathrm{e}}^{-T}-{\mathrm{e}}^{-2T}\end{array}\right]$$

$$G(T){|}_{T=1}={\left[\begin{array}{c}\frac{1}{2}-{\mathrm{e}}^{-T}+\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-2T}\\ {\mathrm{e}}^{-T}-{\mathrm{e}}^{-2T}\end{array}\right]|}_{T=1}=\left[\begin{array}{c}0.1998\\ 0.2325\end{array}\right]$$

1.6 MATLAB/SIMULINK在线性系统状态空间描述中的应用

1.6.1 实战1：求控制系统状态空间模型

实验要求：已知系统$G_1(s)$和$G_2(s)$的模型分别为：$G_1(s)=\frac{2s^2+8s+6}{s^3+8s^2+16s+6}，G_2(s)=\frac{2(s+1)(s+3)}{s(s+2)(s+8)}$,求系统的状态空间模型。

解：

% 实例Chapter9.1.6.1
clc;clear;

% 建立系统传递函数模型
num1=[2,8,6];den1=[1,8,16,6];
[A1,B1,C1,D1]=tf2ss(num1,den1)

z=[-1,-3];p=[0,-2,-8];k=2;
[A2,B2,C2,D2]=zp2ss(z,p,k)

% G1的状态空间模型
A1 =
    -8   -16    -6
     1     0     0
     0     1     0
B1 =
     1
     0
     0
C1 =
     2     8     6
D1 =
     0

% G2的状态空间模型
A2 =
     0     0     0
     1   -10    -4
     0     4     0
B2 =
     1
     0
     0
C2 =
    2.0000  -12.0000   -6.5000
D2 =
     0

• 系统$G_1(s)$的状态空间表达式：
  $$\{\begin{array}{ll}& \dot{X}=\left[\begin{array}{ccc}-8& -16& -6\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]X+\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]U\\ & \\ & Y=\left[\begin{array}{ccc}2& 8& 6\end{array}\right]X\end{array}$$

• 系统$G_2(s)$的状态空间表达式：
  $$\{\begin{array}{ll}& \dot{X}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& -10& -4\\ 0& 4& 0\end{array}\right]X+\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]U\\ & \\ & Y=\left[\begin{array}{ccc}2& -12& -6.5\end{array}\right]X\end{array}$$

1.6.2 实战2：求控制系统状态空间模型

实验要求：已知控制系统的动力学微分方程为：
$$y^{(3)}(t)+3y^{(2)}(t)+3y^{(1)}(t)+y(t)=u^{(2)}(t)+2u^{(1)}(t)+u(t)$$
求系统的状态空间模型。

解：

% 实例Chapter9.1.6.2
clc;clear;

% 建立传递函数模型
num=[1,2,1];den=[1,3,3,1];
G=tf(num,den);

sys=ss(G)

% 状态空间模型
sys =
  A = 
         x1    x2    x3
   x1    -3  -1.5    -1
   x2     2     0     0
   x3     0   0.5     0 
  B = 
       u1
   x1   2
   x2   0
   x3   0 
  C = 
        x1   x2   x3
   y1  0.5  0.5  0.5 
  D = 
       u1
   y1   0

• 控制系统的状态空间模型：
  $$\{\begin{array}{ll}& \dot{X}=\left[\begin{array}{ccc}-3& -0.75& -0.25\\ 4& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]X+\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]U\\ & \\ & Y=\left[\begin{array}{ccc}1& 0.5& 0.25\end{array}\right]X\end{array}$$

1.6.3 实战3：求系统对角标准型

实验要求：已知控制系统的状态空间模型为：
$$\{\begin{array}{ll}& \dot{X}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -6& -11& -6\end{array}\right]X+\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]U\\ & \\ & Y=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\end{array}\right]X\end{array}$$
求系统的对角标准型。

解：

% 实例Chapter9.1.6.3
clc;clear;

% 建立状态空间模型
A=[0,1,0;0,0,1;-6,-11,-6];
B=[1;0;0];C=[1,1,0];D=0;
% ss(A,B,C,D)

% 生成对角标准型
% Ts：所作的线性变换；'mod'：转化成对角型
[As,Bs,Cs,Ds,Ts]=canon(A,B,C,D,'mod')

As =
   -3.0000         0         0
         0   -2.0000         0
         0         0   -1.0000
Bs =
   -7.7621
  -14.6969
    8.6168
Cs =
    0.2577   -0.2041    0.0000
Ds =
     0
Ts =
   -7.7621  -11.6431   -3.8810
  -14.6969  -19.5959   -4.8990
    8.6168    7.1807    1.4361

• 系统的对角标准型为：
  $$\{\begin{array}{ll}& \dot{X}=\left[\begin{array}{ccc}-3& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]X+\left[\begin{array}{c}-7.7621\\ -14.6969\\ 8.6168\end{array}\right]U\\ & \\ & Y=\left[\begin{array}{ccc}0.2577& -0.2041& 0.0000\end{array}\right]X\end{array}$$

1.6.4 实战4：求系统的约当标准型

实验要求：已知控制系统传递函数为：$G_1(s)=\frac{2s+1}{s^3+7s^2+14s+8}、G_2(s)=\frac{2s^2+5s+3}{(s-1{)}^3}$，分别求系统的约当标准型。

解：

% 实例Chapter9.1.6.4
clc;clear;

% 建立系统1模型
num1=[2,1];den1=[1,7,14,8];
[r1,p1,k1]=residue(num1,den1);      % 求系统的分式表达式

A1=diag(p1);B1=ones(length(r1),1);
C1=rat(r1);D1=0;

% 建立系统2模型
num2=[2,5,3];den2=conv([1,-1],conv([1,-1],[1,-1]));
[r2,p2,k2]=residue(num2,den2);      % 求系统的分式表达式

A2=diag(p2);B2=rot90(r2);
C2=ones(1,length(r2));D2=0;

A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2

% G1约当标准型
A1 =
   -4.0000         0         0
         0   -2.0000         0
         0         0   -1.0000
B1 =
     1
     1
     1
C1 =
  3×11 char 数组
    '-1 + 1/(-6)'
    '2 + 1/(-2) '
    '-0 + 1/(-3)'
D1 =
     0

% G2约当标准型
A2 =
    1.0000         0         0
         0    1.0000         0
         0         0    1.0000
B2 =
     2     9    10
C2 =
     1     1     1
D2 =
     0

• 系统$G_1(s)$约当标准型：
  $$\{\begin{array}{ll}& \dot{X}=\left[\begin{array}{ccc}-4& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]X+\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]U\\ & \\ & Y=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{7}{6}& \frac{3}{2}& -\frac{1}{3}\end{array}\right]X\end{array}$$

• 系统$G_2(s)$约当标准型：
  $$\{\begin{array}{ll}& \dot{X}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]X+\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]U\\ & \\ & Y=\left[\begin{array}{ccc}2& 9& 10\end{array}\right]X\end{array}$$

1.6.5 实战5：求系统状态转移矩阵

实验要求：已知矩阵：$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& -3& 3\end{array}\right]$，当$t=0.2\mathrm{s}$时，求状态转移矩阵。

解：

% 实例Chapter9.1.6.4
clc;clear;

A=[0,1,0;0,0,1;1,-3,3];
t=0.2;
Phi=expm(A*t)               % 状态转移矩阵

Phi =
    1.0016    0.1954    0.0244
    0.0244    0.9283    0.2687
    0.2687   -0.7817    1.7344

• 状态转移矩阵为：
  $$\Phi (t)=\left[\begin{array}{ccc}1.0016& 0.1954& 0.0244\\ 0.0244& 0.9283& 0.2687\\ 0.2687& -0.7817& 1.7344\end{array}\right]$$

1.6.6 实战6

实验要求：已知控制系统状态空间模型为：
$$A=\left[\begin{array}{ccc}-2& -2.5& -0.5\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]，B=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]，C=\left[\begin{array}{ccc}0& 1.5& 1\end{array}\right]，D=0$$
求：

1. 系统的脉冲响应和阶跃响应；
2. 在初始状态为：$x(0)={\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\end{array}\right]}^T$的条件下，输入：$u(t)=\{\begin{array}{llc}& 2,& 0\le t<2\\ & 0.5,& t\le 2\end{array}$时，状态变量：$X(t)={\left[\begin{array}{c}{x}_1(t),x_2(t),x_3(t)\end{array}\right]}^T$的响应曲线。

解：

【$STEP1$】：求系统脉冲响应和阶跃响应。

% 实例Chapter9.1.6.5
clc;clear;

% 建立空间状态模型
A=[-2,-2.5,-0.5;1,0,0;0,1,0];
B=[1;0;0];C=[0,1.5,1];D=0;

G=ss(A,B,C,D);
t=[0:0.1:20];

% 单位阶跃响应和单位脉冲响应
figure(1);
impulse(G,t);grid;
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);

figure(2);
step(G,t);grid;
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);

【$STEP2$】：求解响应曲线。

% 计算响应曲线
x0=[1;0;2];
u(1,1:20)=2*ones(1,20);
u(1,21:201)=0.5*ones(1,181);    % 输入量u
[y,t,x]=lsim(G,u,t,x0);         

figure(3);
plot(t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'--',t,x(:,3),'-.');
xlabel('时间/秒');ylabel('幅值');grid;
legend('x_1(t)','x_2(t)','x_3(t)');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);

【完整代码】

% 实例Chapter9.1.6.5
clc;clear;

% 建立空间状态模型
A=[-2,-2.5,-0.5;1,0,0;0,1,0];
B=[1;0;0];C=[0,1.5,1];D=0;

G=ss(A,B,C,D);
t=[0:0.1:20];

% 单位阶跃响应和单位脉冲响应
figure(1);
impulse(G,t);grid;
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);

figure(2);
step(G,t);grid;
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);

% 计算响应曲线
x0=[1;0;2];
u(1,1:20)=2*ones(1,20);
u(1,21:201)=0.5*ones(1,181);    % 输入量u
[y,t,x]=lsim(G,u,t,x0);         

figure(3);
plot(t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'--',t,x(:,3),'-.');
xlabel('时间/秒');ylabel('幅值');grid;
legend('x_1(t)','x_2(t)','x_3(t)');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);