Chapter10.1：非线性系统概述

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博客参考书籍：《MATLAB/Simulink与控制系统仿真》。

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1.非线性系统概述

1.1 非线性系统的特征

线性系统的重要特征：可以应用线性叠加原理；非线性系统不可以应用叠加原理；能否应用叠加原理是两类系统的本质区别；

非线性系统的运动主要有如下特点：

1. 稳定性分析复杂

   对于线性系统，只有一个平衡状态$y=0$，线性系统的稳定性即为该平衡状态的稳定性，且只取决于系统本身的结构和参数，与外作用和初始条件无关；

   对于非线性系统，系统可能存在多个平衡状态，各平衡状态可能是稳定的，可能是不稳定的，初始条件不同，自由运动的稳定性亦不同；平衡状态的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，且与系统的初始条件有直接关系；

2. 可能存在自激振荡现象

   自激振荡：指没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动，亦称自振；但线性系统在无外界周期变化的信号作用时所具有的周期运动不是自激振荡，因为线性系统产生的周期运动在外扰动作用下使系统输出发生偏离时会发生改变，不能维持周期运动；

3. 频率响应发生畸变

   稳定的线性系统的频率响应，即正弦信号作用下的稳态输出量是与输入同频率的正弦信号，其幅值$A$和相位$\phi$为输入正弦信号频率$\omega$的函数；

   非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正弦信号分量(基频分量)外，还含有关于$\omega$的高次谐波分量，使系统波形发生非线性畸变；若系统含有多值非线性环节，输出的各次谐波分量的幅值还可能发生跃变；

1.2 非线性系统的分析与设计方法

1. 相平面法

   相平面法是推广应用时域分析法的一种图解分析法；该方法通过在相平面上绘制相轨迹曲线，确定非线性微分方程在不同初始条件下解的运动形式；相平面法仅适用于一阶和二阶系统；

2. 描述函数法

   描述函数法是基于频域分析法和非线性特性谐波线性化的一种图解分析方法；该方法对于满足结构要求的一类非线性系统，通过谐波线性化，将非线性特性近似表示为复变增益环节，然后推广应用频率法，分析非线性系统的稳定性或自激振荡；

3. 逆系统法

   逆系统法是运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统，以此为基础，设计外环控制网络；

1.3 非线性特性的等效增益

设非线性特性表示为：
$$y=f(x)$$
将非线性特性视为一个环节，环节输入为$x$，输出为$y$，定义非线性环节输出$y$和输入$x$的比值为等效增益：
$$k=\frac{y}{x}=\frac{f(x)}{x}$$
比例环节的增益为常值，输出和输入呈线性关系；非线性环节的等效增益为变增益，因而可将非线性特性视为变增益比例环节；

• 继电特性： 继电器、接触器和可控硅等电气元件的特性通常表现为继电特性；当输入$x$趋于零时，等效增益趋于无穷大；输出$y$的幅值保持不变，当$|x|$增大时，等效增益减小，$|x|$趋于无穷大时，等效增益趋于零；

• 死区特性： 死区特性一般由测量元件、放大元件及执行元件机构的不灵敏区造成；当$|x|<\Delta$时，$k=0$，$k$为$|x|$的增函数，且随$|x|$趋于无穷时，$k$趋于$k_0$；

• 饱和特性： 放大器及执行机构受电源电压或功率的限制导致饱和现象；当$|x|\le a$时，输出$y$随输入$x$线性变化，等效增益$k=k_0$；当$|x|>a$时，输出量保持常值，$k$为$|x|$的减函数，且随$|x|$趋于无穷而趋于零；

• 间隙特性： 齿轮、涡轮轴系的加工及装配误差或磁滞效应是形成间隙特性的主要原因；

  间隙特性为非单值函数：
  $$y=\{\begin{array}{ll}{k}_0(x-b),& \dot{x}>0,x>-(a-2b)\\ k_0(a-b),& \dot{x}<0,x>(a-2b)\\ k_0(x+b),& \dot{x}<0,x<(a-2b)\\ k_0(-a+b),& \dot{x}>0,x<-(a-2b)\end{array}$$

• 摩擦特性： 摩擦特性是机械传动机构中普遍存在的非线性特性；图中，$F_1$是物体运动所需克服的静摩擦力；当系统开始运动后，变为动摩擦力$F_2$；第三种摩擦力为黏性摩擦力，与物体运动的滑动平面相对速率成正比；

1.4 SIMULINK中的非线性模块

$\mathrm{SIMULINK}$中的不连续系统模块库$(\mathrm{Discontinuous})$提供了$12$种常用标准非线性模块：

• $\mathrm{Backlash}$：间隙非线性；
• $Coulomb\&Viscous\mathrm{Friction}$：库仑和黏度摩擦非线性；
• $\mathrm{Dead}\mathrm{Zone}$：死区非线性；
• $\mathrm{Dead}\mathrm{Zone}\mathrm{Dynamic}$：动态死区非线性；
• $\mathrm{Hit}\mathrm{Crossing}$：冲击非线性；
• $\mathrm{Quantizer}$：量化非线性；
• $\mathrm{Rate}\mathrm{Limiter}$：比例限制非线性；
• $\mathrm{Rate}\mathrm{Limiter}\mathrm{Dynamic}$：动态比例限制非线性；
• $\mathrm{Relay}$：继电非线性；
• $\mathrm{Saturation}$：饱和非线性；
• $\mathrm{Saturation}\mathrm{Dynamic}$：动态饱和非线性；
• $\mathrm{Wrap}\mathrm{To}\mathrm{Zero}$：环零非线性；

1.5 实战

实验要求：在$\mathrm{SIMULINK}$种，利用幅值为$1$的正弦信号直接作用于限幅为$0.5$的死区非线性模块，求其输出，并与输入信号进行比较。

解：

【$\mathrm{SIMULINK}$模型】

【$\mathrm{SIMULINK}$结果】