【控制】非线性系统的Terminal控制

【控制】非线性系统的Terminal控制

1.导言

在滑模面中，线性项可以改善系统光滑性和连续性；非线性项可以加快系统收敛。
对于普通滑模控制，通常选取线性的滑模面，其可以保证系统收敛，但无法保证在有限时间内收敛。在线性滑模面中加入非线性项，可以使得系统能在有限时间内收敛，这就是我们常说的Terminal滑模控制。
本文将使用电机为被控对象，对其设计相应控制器，完成仿真。仿真源代码链接见文章末尾。

2.被控对象

本文使用电机作为被控对象，其数学模型如下：
$$\begin{gathered} J\ddot{\theta }=u+d(t) \\ |d(t)|\le \eta \end{gathered}$$

其中$u$为电机输入，$\theta$为电机输出，$d(t)$为系统的扰动，且扰动的上限值为$\eta$。
令$x_1=\theta ,x_2=\dot{\theta }$将其转换为状态空间模型如下：
$$\begin{gathered} {\dot{x}}_1=x_2 \\ {\dot{x}}_2=\frac{1}{J}u+\frac{1}{J}d(t) \\ y=x_1 \end{gathered}$$

3.滑模控制器

3.1滑模面设计

考虑系统状态$X=[x_1,x_2{]}^T=[\theta ,\dot{\theta }{]}^T$,系统的期望状态$X_d=[x_{1d},x_{2d}{]}^T=[{\theta }_d,{\dot{\theta }}_d{]}^T$,定义误差向量如下：
$$E=X-X_d=[e,\dot{e}{]}^T$$
设计同时具有线性项和非线性项的滑模面如下：
$$S=CE-CP(t)$$

其中系数矩阵$C=[c_1,c_2]$,$E$为常规的线性项，非线性项为$P(t)=[p(t),\dot{p}(t){]}^T$。
为了使得系统在时间$T_c$时完全收敛，$p(t)$需要满足如下2条性质：

(1). $p(0)=e(0),\dot{p}(0)=\dot{e}(0),...,p^{(n)}(0)=e^{(n)}(0)$,其中$n$为系统阶数。
(2). $p(t)$在$t=T_c$时刻满足$n$阶可微。

按照上述要求，构造非线性项函数如下：

$$p(t)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{0!}e(0)+\frac{1}{1!}\dot{e}(0)t+\frac{1}{2!}\ddot{e}(0)t^2+A_1{t}^3+A_2{t}^4+A_3{t}^{5}0\le t\le T_c\\ 0t\ge T_c\end{array}$$
其中$T_c$为自设的收敛时间，系统输出将在$T_c$时刻完全跟踪上输入；$e(0)$为误差$e$在零时刻的值，$\dot{e}(0)$等值依次类推；$A_1,A_2,A_3$是与收敛时间$T_c$相关的系数。
按照性质(2)求解$A_1,A_2,A_3$参数：
$$\{\begin{array}{l}p(T_c)=0\\ \dot{p}(T_c)=0⟹A_1,A_2,A_3\\ \ddot{p}(T_c)=0\end{array}$$

若是$n$阶系统，则$E$、$C$等向量都扩大至$n$维，非线性项$p(t)$增加至$2(n+1)$项，并通过$n+1$个方程求解系数$A_1,...,A_{n+1}$。

3.2稳定性证明与控制器设计

考虑$Lyapunov$函数$V=\frac{1}{2}{S}^{T}S$，其对时间的微分如下：
V ˙ = S T S ˙ = S T ( c 1 ( e ˙ − p ˙ ( t ) ) − c 2 p ¨ ( t ) − c 2 x ¨ d + c 2 1 J u + c 2 1 J d ( t ) ) = S T ( c 1 ( e ˙ − p ˙ ( t ) ) − c 2 p ¨ ( t ) − c 2 x ¨ d ) + S T c 2 1 J u + S T c 2 1 J d ( t ) ≤ S T ( c 1 ( e ˙ − p ˙ ( t ) ) − c 2 p ¨ ( t ) − c 2 x ¨ d ) + S T c 2 1 J u + ∣ ∣ S T ∣ ∣ c 2 ( 1 J η + K ) = S T ( c 1 ( e ˙ − p ˙ ( t ) ) − c 2 p ¨ ( t ) − c 2 x ¨ d ) + S T c 2 1 J u + ∣ ∣ S T ∣ ∣ 2 ∣ ∣ S T ∣ ∣ c 2 ( 1 J η + K ) = S T ( c 1 ( e ˙ − p ˙ ( t ) ) − c 2 p ¨ ( t ) − c 2 x ¨ d ) + S T c 2 1 J u + S T S ∣ ∣ S T ∣ ∣ c 2 ( 1 J η + K ) = S T { ( c 1 ( e ˙ − p ˙ ( t ) ) − c 2 p ¨ ( t ) − c 2 x ¨ d ) + c 2 1 J u + S ∣ ∣ S T ∣ ∣ c 2 ( 1 J η + K ) } \dot V = S^T \dot S = S^T (c_1 (\dot e - \dot p(t)) - c_2 \ddot p(t) - c_2 \ddot x_d + c_2 \frac{1}{J} u + c_2 \frac{1}{J} d(t)) \\ =S^T (c_1 (\dot e - \dot p(t)) - c_2 \ddot p(t) - c_2 \ddot x_d ) + S^T c_2 \frac{1}{J} u + S^T c_2 \frac{1}{J} d(t) \\ \leq S^T (c_1 (\dot e - \dot p(t)) - c_2 \ddot p(t) - c_2 \ddot x_d ) + S^T c_2 \frac{1}{J} u + ||S^T|| c_2 ( \frac{1}{J} \eta + K) \\ = S^T (c_1 (\dot e - \dot p(t)) - c_2 \ddot p(t) - c_2 \ddot x_d ) + S^T c_2 \frac{1}{J} u +\frac{||S^T||^2} {||S^T||} c_2 ( \frac{1}{J} \eta + K) \\ = S^T (c_1 (\dot e - \dot p(t)) - c_2 \ddot p(t) - c_2 \ddot x_d ) + S^T c_2 \frac{1}{J} u +\frac{S^T S} {||S^T||} c_2 ( \frac{1}{J} \eta + K) \\ = S^T \{ (c_1 (\dot e - \dot p(t)) - c_2 \ddot p(t) - c_2 \ddot x_d ) + c_2 \frac{1}{J} u +\frac{S} {||S^T||} c_2 ( \frac{1}{J} \eta + K) \} V˙=STS˙=ST(c1​(e˙−p˙​(t))−c2​p¨​(t)−c2​x¨d​+c2​J1​u+c2​J1​d(t))=ST(c1​(e˙−p˙​(t))−c2​p¨​(t)−c2​x¨d​)+STc2​J1​u+STc2​J1​d(t)≤ST(c1​(e˙−p˙​(t))−c2​p¨​(t)−c2​x¨d​)+STc2​J1​u+∣∣ST∣∣c2​(J1​η+K)=ST(c1​(e˙−p˙​(t))−c2​p¨​(t)−c2​x¨d​)+STc2​J1​u+∣∣ST∣∣∣∣ST∣∣2​c2​(J1​η+K)=ST(c1​(e˙−p˙​(t))−c2​p¨​(t)−c2​x¨d​)+STc2​J1​u+∣∣ST∣∣STS​c2​(J1​η+K)=ST{ (c1​(e˙−p˙​(t))−c2​p¨​(t)−c2​x¨d​)+c2​J1​u+∣∣ST∣∣S​c2​(J1​η+K)}
其中$K$为正数。为保证系统稳定性，令$\dot{V}$的上界为0，推导出控制器的输出如下：
S T { ( c 1 ( e ˙ − p ˙ ( t ) ) − c 2 p ¨ ( t ) − c 2 x ¨ d ) + c 2 1 J u + S ∣ ∣ S T ∣ ∣ c 2 ( 1 J η + K ) } = 0 ⇓ u = − J c 2 − 1 ( c 1 ( e ˙ − p ˙ ( t ) ) − c 2 p ¨ ( t ) − c 2 x ¨ d ) − J S ∣ ∣ S T ∣ ∣ ( 1 J η + K ) S^T \{ (c_1 (\dot e - \dot p(t)) - c_2 \ddot p(t) - c_2 \ddot x_d ) + c_2 \frac{1}{J} u +\frac{S} {||S^T||} c_2 ( \frac{1}{J} \eta + K) \} = 0 \\ \Downarrow \\ u = -Jc_2^{-1}(c_1 (\dot e - \dot p(t)) - c_2 \ddot p(t) - c_2 \ddot x_d ) - J \frac{S} {||S^T||} ( \frac{1}{J} \eta + K) ST{ (c1​(e˙−p˙​(t))−c2​p¨​(t)−c2​x¨d​)+c2​J1​u+∣∣ST∣∣S​c2​(J1​η+K)}=0⇓u=−Jc2−1​(c1​(e˙−p˙​(t))−c2​p¨​(t)−c2​x¨d​)−J∣∣ST∣∣S​(J1​η+K)
在matlab代码实现时可以使用符号函数$sgn(S)$代替向量$\frac{S^T}{||S||}$。为了进一步地消除符号函数带来的抖动问题，利用饱和函数$tanh(S)$函数代替符号函数$sgn(S)$。

4.仿真与结果

Simulink仿真系统如上。其中输入为正弦波${\theta }_d=sin(t)$；被控对象模型为$J\ddot{\theta }=u+d(t)$，其中扰动$d(t)=sint$。
仿真结果如下。其中黄色曲线为输入，即期望的电机角度${\theta }_d$，蓝色曲线为实际输出，即实际的电机角度$\theta$，红色曲线为实际输出的一阶导数，即电机的角速度$\dot{\theta }$。系统输出在$T_c=1s$时跟踪上了期望输入。

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源代码下载链接：https://github.com/Fantasty9413/SMC-for-motor/tree/master/Terminal
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