Chapter9.1：线性系统的状态空间分析与综合(下)

此系列属于胡寿松《自动控制原理题海与考研指导》(第三版)习题精选，仅包含部分经典习题，需要完整版习题答案请自行查找，本系列属于知识点巩固部分，搭配如下几个系列进行学习，可用于期末考试和考研复习。
自动控制原理(第七版)知识提炼
 自动控制原理(第七版)课后习题精选
 自动控制原理(第七版)附录MATLAB基础

Example 9.6

已知系统传递函数：

$G(s)=\displaystyle\frac{(s-1)(s+2)}{(s+1)(s-2)(s+3)}$ ；
$G(s)=\displaystyle\frac{2s^3+s^2+7s}{s^4+3s^3+5s^2+4s}$ ；
$G(s)=\displaystyle\frac{3s^3+s^2+s+1}{s^3+1}$ ；
$G(s)=\displaystyle\frac{1}{(s+3)^3}$ ；

写出系统可控标准型和可观测标准型最小实现。

解：

$G(s)=\displaystyle\frac{(s-1)(s+2)}{(s+1)(s-2)(s+3)}$ ；

由于系统传递函数的分子、分母不存在零极点对消，故系统可控可观。

由于
$G(s)=\displaystyle\frac{(s-1)(s+2)}{(s+1)(s-2)(s+3)}=\frac{s^2+s-2}{s^3+2s^2-5s-6}$
则系统可控标准型最小实现为：
$\dot{x}_c=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 6 & 5 & -2 \end{bmatrix}x_c+\begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}u，y=\begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 \end{bmatrix}x_c$
可观测标准型最小实现为可控标准型最小实现的对偶形式：
$\dot{x}_o=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 6\\ 1 & 0 & 5\\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix}x_o+\begin{bmatrix} -2\\1\\1 \end{bmatrix}u，y=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}x_o$
$G(s)=\displaystyle\frac{2s^3+s^2+7s}{s^4+3s^3+5s^2+4s}$ ；

由于传递函数的分子、分母存在零极点对消，故系统不完全可控可观测，因此，最小实现的传递函数为：
$G(s)=\frac{2s^2+s+7}{s^3+3s^2+5s+4}$
则系统的可控标准型最小实现为：
$\dot{x}_c=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ -4 & -5 & -3 \end{bmatrix}x_c+\begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}u，y=\begin{bmatrix} 7 & 1 & 2 \end{bmatrix}x_c$
可观测标准型最小实现为可控标准型最小实现的对偶形式：
$\dot{x}_o=\begin{bmatrix} 0 & 0 & -4\\ 1 & 0 & -5\\ 0 & 1 & -3 \end{bmatrix}x_o+\begin{bmatrix} 7\\ 1\\ 2 \end{bmatrix}u，y=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}x_o$
$G(s)=\displaystyle\frac{3s^3+s^2+s+1}{s^3+1}$ ；

由于系统传递函数的分子、分母不存在零极点对消，故系统可控可观。

由于
$G(s)=3+\frac{s^2+s-2}{s^3+1}$
则系统的可控标准型最小实现为：
$\dot{x}_c=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}x_c+\begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}u，y=\begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 \end{bmatrix}x_c+3u$
可观测标准型最小实现为可控标准型最小实现的对偶形式：
$\dot{x}_o=\begin{bmatrix} 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}x_o+\begin{bmatrix} -2\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}u，y=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}x_o+3u$
$G(s)=\displaystyle\frac{1}{(s+3)^3}$ ；

由于系统传递函数的分子、分母不存在零极点对消，故系统可控可观。

由于
$G(s)=\frac{1}{s^3+9s^2+27s+27}$
则系统的可控标准型最小实现为：
$\dot{x}_c=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ -27 & -27 & -9 \end{bmatrix}x_c+\begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}u，y=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}x_c$
可观测标准型最小实现为可控标准型最小实现的对偶形式：
$\dot{x}_o=\begin{bmatrix} 0 & 0 & -27\\ 1 & 0 & -27\\ 0 & 1 & -9 \end{bmatrix}x_o+\begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix}u，y=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}x_o$

Example 9.7

已知系统的传递函数列向量：

$g(s)=\begin{bmatrix}\displaystyle\frac{1}{s+1} & \displaystyle\frac{1}{s+2} & \displaystyle\frac{1}{s+3}\end{bmatrix}^T$ ；
$g(s)=\begin{bmatrix}1 & \displaystyle\frac{s}{s^2-1} & \displaystyle\frac{1}{s-1}\end{bmatrix}^T$ ；
$g(s)=\begin{bmatrix}\displaystyle\frac{1}{s} & 0 & \displaystyle\frac{-1}{s^2+1}\end{bmatrix}^T$ ；
$g(s)=\begin{bmatrix}\displaystyle\frac{1}{s^2+1} & \displaystyle\frac{1}{s^2-1}\end{bmatrix}^T$ ；

求系统可控标准型实现。

解：

$g(s)=\begin{bmatrix}\displaystyle\frac{1}{s+1} & \displaystyle\frac{1}{s+2} & \displaystyle\frac{1}{s+3}\end{bmatrix}^T$ ；

引入中间变量 $Z$ ，使得：
$\begin{aligned} g(s)&=\frac{Y(s)Z(s)}{Z(s)U(s)}=\frac{1}{(s+1)(s+2)(s+3)}\begin{bmatrix} (s+2)(s+3)\\ (s+1)(s+3)\\ (s+1)(s+2) \end{bmatrix}\\\\ &=\frac{1}{s^3+6s^2+11s+6}\begin{bmatrix} s^2+5s+6\\ s^2+4s+3\\ s^2+3s+2 \end{bmatrix} \end{aligned}$
令
$\frac{Z(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^3+6s^2+11s+6}，\frac{Y(s)}{Z(s)}=\begin{bmatrix} s^2+5s+6\\ s^2+4s+3\\ s^2+3s+2 \end{bmatrix}$
选择 $x_1=z,x_2=\dot{z},x_3=\ddot{z}$ ，可得可控标准型实现为：
$\dot{x}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ -6 & -11 & -6 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}u，y=\begin{bmatrix} 6 & 5 & 1\\ 3 & 4 & 1\\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}x$
$g(s)=\begin{bmatrix}1 & \displaystyle\frac{s}{s^2-1} & \displaystyle\frac{1}{s-1}\end{bmatrix}^T$ ；

由于
$g(s)=\begin{bmatrix} 1\\ \displaystyle\frac{s}{s^2-1}\\ \displaystyle\frac{1}{s-1} \end{bmatrix}=\displaystyle\frac{1}{s^2-1}\begin{bmatrix} 0\\ s\\ s+1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$
利用传递函数直接分解法可得可控标准型实现为：
$\dot{x}=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}u，y=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix}u$
$g(s)=\begin{bmatrix}\displaystyle\frac{1}{s} & 0 & \displaystyle\frac{-1}{s^2+1}\end{bmatrix}^T$ ；

由于
$g(s)=\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{1}{s}\\ 0\\ \displaystyle\frac{-1}{s^2+1} \end{bmatrix}=\frac{1}{s^3+s}\begin{bmatrix} s^2+1\\ 0\\ -s \end{bmatrix}$
利用传递函数直接分解法可得可控标准型实现为：
$\dot{x}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}u，y=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}x$
$g(s)=\begin{bmatrix}\displaystyle\frac{1}{s^2+1} & \displaystyle\frac{1}{s^2-1}\end{bmatrix}^T$ ；

由于
$g(s)=\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{1}{s^2+1}\\ \displaystyle\frac{1}{s^2-1} \end{bmatrix}=\frac{1}{s^4-1}\begin{bmatrix} s^2-1\\ s^2+1 \end{bmatrix}$
利用传递函数直接分解法可得可控标准型实现为：
$\dot{x}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}u，y=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}x$

Example 9.8

已知系统的传递函数行向量：

$g(s)=\begin{bmatrix}0 & 1 & \displaystyle\frac{1}{s+1} & \displaystyle\frac{1}{s+2}\end{bmatrix}$ ；
$g(s)=\begin{bmatrix}\displaystyle\frac{1}{s+1} & \displaystyle\frac{1}{s-1} & \displaystyle\frac{2s}{s^2-1}\end{bmatrix}$ ；
$g(s)=\begin{bmatrix}3& \displaystyle\frac{2}{s^2+1} & \displaystyle\frac{s^2}{s^2+1}\end{bmatrix}$ ；

求系统可观测标准型实现。

解：

$g(s)=\begin{bmatrix}0 & 1 & \displaystyle\frac{1}{s+1} & \displaystyle\frac{1}{s+2}\end{bmatrix}$ ；

由于
$g(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{(s+1)(s+2)}\begin{bmatrix} 0 & 0 & s+2 & s+1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
此为四输入-单输出系统。由于线性系统满足叠加原理，故系统微分方程可写为：
$\ddot{y}+3\dot{y}+2y=\dot{u}_3+2u_3+\dot{u}_4+u_4$
令 $x_1=\dot{y}+3y-u_3-u_4，x_2=y$ ，则有
$\begin{cases} &\dot{x}_1=-2x_2+2u_3+u_4\\\\ &\dot{x}_2=x_1-3x_2+u_3+u_4\\\\ &y=x_2 \end{cases}$
即系统可观测标准型实现的向量-矩阵形式为：
$\dot{x}=\begin{bmatrix} 0 & -2\\ 1 & -3 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}u，y=\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}u$
$g(s)=\begin{bmatrix}\displaystyle\frac{1}{s+1} & \displaystyle\frac{1}{s-1} & \displaystyle\frac{2s}{s^2-1}\end{bmatrix}$ ；

系统的传递函数向量：
$g(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^2-1}\begin{bmatrix} s-1 & s^2+s & 2s \end{bmatrix}$
此为三输入-单输出系统。由于线性系统满足叠加原理，故系统微分方程可写为：
$\ddot{y}-y=\dot{u}_1-u_1+\ddot{u}_2+\dot{u}_2+2\dot{u}_3$
令 $x_1=\dot{y}-u_1-\dot{u}_2-u_2-2u_3，x_2=y-u_2$ ，则有：
$\begin{cases} &\dot{x}_1=x_2-u_1+u_2\\\\ &\dot{x}_2=x_1+u_1+u_2+2u_3\\\\ &y=x_2+u_2 \end{cases}$
即系统可观测标准型实现的向量-矩阵形式为：
$\dot{x}=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} -1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}u，y=\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}u$
$g(s)=\begin{bmatrix}3& \displaystyle\frac{2}{s^2+1} & \displaystyle\frac{s^2}{s^2+1}\end{bmatrix}$ ；

系统的传递函数向量：
$g(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^2+1}\begin{bmatrix} 3s^2+3 & 2 & s^2 \end{bmatrix}$
此为三输入-单输出系统。由于线性系统满足叠加原理，故系统微分方程可写为：
$\ddot{y}+y=3\ddot{u}_1+3u_1+2u_2+\ddot{u}_3$
令 $x_1=\dot{y}-3\dot{u}_1-\dot{u}_3，x_2=y-3u_1-u_3$ ，则有：
$\begin{cases} &\dot{x}_1=-x_2+2u_2-u_3\\\\ &\dot{x}_2=x_1\\\\ &y=x_2+3u_1+u_3 \end{cases}$
即系统可观测标准型实现的向量-矩阵形式为：
$\dot{x}=\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} 0 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}u，y=\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}u$

Example 9.9

已知系统传递函数：

$G(s)=\displaystyle\frac{s^2+s-6}{s^4+10s^3+35s^2+50s+24}$ ；
$G(s)=\displaystyle\frac{4s^2+17s+16}{s^3+7s^2+16s+12}$ ；
$G(s)=\displaystyle\frac{2s^2+5s+1}{s^3+6s^2+12s+8}$ ；
$G(s)=\displaystyle\frac{(s+1)^3}{s^3}$ ；

求系统的约当标准型或对角线标准型实现。

解：

$G(s)=\displaystyle\frac{s^2+s-6}{s^4+10s^3+35s^2+50s+24}$ ；

将系统传递函数分解为部分分式形式：
$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{(s+3)(s-2)}{(s+1)(s+2)(s+3)(s+4)}=\frac{-1}{s+1}+\frac{2}{s+2}+\frac{-1}{s+4}$
令
$\begin{cases} &X_1(s)=\displaystyle\frac{1}{s+1}U(s)\\\\ &X_2(s)=\displaystyle\frac{1}{s+2}U(s)\\\\ &X_3(s)=\displaystyle\frac{1}{s+4}U(s) \end{cases}$
即
$\begin{cases} &\dot{x}_1=-x_1+u\\\\ &\dot{x}_2=-2x_2+u\\\\ &\dot{x}_3=-4x_3+u \end{cases}$
向量-矩阵形式，可得系统对角线标准型最小实现为：
$\dot{x}=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & -4 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}u，y=\begin{bmatrix} -1 & 2 & -1 \end{bmatrix}x$
$G(s)=\displaystyle\frac{4s^2+17s+16}{s^3+7s^2+16s+12}$ ；

将系统传递函数分解为部分分式形式：
$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{4s^2+17s+16}{(s+3)(s+2)^2}=\frac{-2}{(s+2)^2}+\frac{3}{s+2}+\frac{1}{s+3}$
令
$\begin{cases} &X_1(s)=\displaystyle\frac{1}{(s+2)^2}U(s)=\displaystyle\frac{1}{s+2}X_2(s)\\\\ &X_2(s)=\displaystyle\frac{1}{s+2}U(s)\\\\ &X_3(s)=\displaystyle\frac{1}{s+3}U(s) \end{cases}$
则
$\begin{cases} &\dot{x}_1=-2x_1+x_2\\\\ &\dot{x}_2=-2x_2+u\\\\ &\dot{x}_3=-3x_3+u \end{cases}$
向量-矩阵形式，可得系统约当标准型实现为：
$\dot{x}=\begin{bmatrix} -2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}u，y=\begin{bmatrix} -2 & 3 & 1 \end{bmatrix}x$
$G(s)=\displaystyle\frac{2s^2+5s+1}{s^3+6s^2+12s+8}$ ；

将系统传递函数分解为部分分式形式：
$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{2s^2+5s+1}{(s+2)^3}=\frac{-1}{(s+2)^3}+\frac{-3}{(s+2)^2}+\frac{2}{s+2}$
令
$\begin{cases} &X_1(s)=\displaystyle\frac{1}{(s+2)^3}U(s)=\frac{1}{s+2}X_2(s)\\\\ &X_2(s)=\displaystyle\frac{1}{(s+2)^2}U(s)=\frac{1}{s+2}X_3(s)\\\\ &X_3(s)=\displaystyle\frac{1}{s+2}U(s) \end{cases}$
则
$\begin{cases} &\dot{x}_1=-2x_1+x_2\\\\ &\dot{x}_2=-2x_2+x_3\\\\ &\dot{x}_3=-2x_3+u \end{cases}$
向量-矩阵形式，可得系统的约当标准型实现为：
$\dot{x}=\begin{bmatrix} -2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & 1\\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}u，y=\begin{bmatrix} -1 & -3 & 2 \end{bmatrix}x$
$G(s)=\displaystyle\frac{(s+1)^3}{s^3}$ ；

将系统的传递函数分解为部分分式形式：
$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{(s+1)^3}{s^3}=1+\frac{3s^2+3s+1}{s^3}=1+\frac{1}{s^3}+\frac{3}{s^2}+\frac{3}{s}$
令
$\begin{cases} &X_1(s)=\displaystyle\frac{1}{s^3}U(s)=\frac{1}{s}X_2(s)\\\\ &X_2(s)=\displaystyle\frac{1}{s^2}U(s)=\frac{1}{s}X_3(s)\\\\ &X_3(s)=\displaystyle\frac{1}{s}U(s) \end{cases}$
则
$\begin{cases} &\dot{x}_1=x_2\\\\ &\dot{x}_2=x_3\\\\ &\dot{x}_3=u \end{cases}$
向量-矩阵形式，可得系统的约当标准型实现为：
$\dot{x}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}u，y=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \end{bmatrix}x+u$

Example 9.10

已知系统状态矩阵为： $A=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\2&3&0\end{bmatrix}$ ，用下列方法求系统的状态转移矩阵 $\Phi(t)$ 。

拉普拉斯变换法；
线性变换法；
凯莱-哈密顿定理(待定系数法)；

解：

拉普拉斯变换法；

因为
$(sI-A)^{-1}=\begin{bmatrix} s & -1 & 0\\ 0 & s & -1\\ -2 & -3 & s \end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{(s+1)^2(s-2)}\begin{bmatrix} s^2-3 & s & 1\\ -2 & s^2 & s\\ 2s & -3s-2 & s^2 \end{bmatrix}$
所以
$\begin{aligned} \Phi(t)&=L^{-1}[(sI-A)^{-1}]\\\\ &=\frac{1}{9}\begin{bmatrix} (8-6t){\rm e}^{-t}+{\rm e}^{2t} & (-2+3t){\rm e}^{-t}+2{\rm e}^{2t} & -(1+3t){\rm e}^{-t}+{\rm e}^{2t}\\\\ -(2+6t){\rm e}^{-t}+2{\rm e}^{2t} & (5-3t){\rm e}^{-t}+4{\rm e}^{2t} & (-2+3t){\rm e}^{-t}+2{\rm e}^{2t}\\\\ (-4+6t){\rm e}^{-t}+4{\rm e}^{2t} & (-8+3t){\rm e}^{-t}+8{\rm e}^{2t} & (5-3t){\rm e}^{-t}+4{\rm e}^{2t} \end{bmatrix} \end{aligned}$
线性变换法；

由于 $A$ 为友矩阵，故系统特征多项式为：
$f(\lambda)=\lambda^3-3\lambda-2=(\lambda+1)^2(\lambda-2)$
解得特征根为：
$\lambda_1=\lambda_2=-1，\lambda_3=2$
因此：
$\begin{aligned} &P=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ \lambda_1 & 1 &\lambda_3\\ \lambda_1^2 & 2\lambda_1 & \lambda_3^2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 2\\ 1 & -2 & 4 \end{bmatrix}，P^{-1}=\frac{1}{9}\begin{bmatrix} 8 & -2 & -1\\ 6 & 3 & -3\\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}\\\\ &\Lambda=P^{-1}AP=\begin{bmatrix} -1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}，{\rm e}^{At}=\begin{bmatrix} {\rm e}^{-t} & t{\rm e}^{-t} & 0\\ 0 & {\rm e}^{-t} & 0\\ 0 & 0 & {\rm e}^{2t} \end{bmatrix} \end{aligned}$
从而可得系统的状态转移矩阵为：
$\begin{aligned} \Phi(t)&=P{\rm e}^{\Lambda{t}}P^{-1}\\\\ &=\frac{1}{9}\begin{bmatrix} (8-6t){\rm e}^{-t}+{\rm e}^{2t} & (-2+3t){\rm e}^{-t}+2{\rm e}^{2t} & -(1+3t){\rm e}^{-t}+{\rm e}^{2t}\\\\ -(2+6t){\rm e}^{-t}+2{\rm e}^{2t} & (5-3t){\rm e}^{-t}+4{\rm e}^{2t} & (-2+3t){\rm e}^{-t}+2{\rm e}^{2t}\\\\ (-4+6t){\rm e}^{-t}+4{\rm e}^{2t} & (-8+3t){\rm e}^{-t}+8{\rm e}^{2t} & (5-3t){\rm e}^{-t}+4{\rm e}^{2t} \end{bmatrix} \end{aligned}$
凯莱-哈密顿定理(待定系数法)；

根据凯莱-哈密顿定理可知：
${\rm e}^{At}=\sum_{k=0}^{n-1}\alpha_k(t)A^k=\alpha_0(t)I+\alpha_1(t)A+\alpha_2(t)A^2$
由于 $A$ 的特征值为： $\lambda_1=\lambda_2=-1，\lambda_3=2$ ，因此：
$\begin{bmatrix} \alpha_0(t)\\ \alpha_1(t)\\ \alpha_2(t) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & \lambda_1 & \lambda_1^2\\ 0 & 1 & 2\lambda_1\\ 1 & \lambda_3 & \lambda_3^2 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} {\rm e}^{\lambda_1t}\\ t{\rm e}^{\lambda_1t}\\ {\rm e}^{\lambda_3t} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1\\ 0 & 1 & -2\\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} {\rm e}^{\lambda_1t}\\ t{\rm e}^{\lambda_1t}\\ {\rm e}^{\lambda_3t} \end{bmatrix}=\frac{1}{9}\begin{bmatrix} {\rm e}^{-t}+6t{\rm e}^{-t}+{\rm e}^{2t}\\ -2{\rm e}^{-t}+3t{\rm e}^{-t}+2{\rm e}^{2t}\\ -{\rm e}^{-t}-3t{\rm e}^{-t}+{\rm e}^{2t} \end{bmatrix}$
将上式代入可得：
$\begin{aligned} \Phi(t)&=\alpha_0(t)I+\alpha_1A+\alpha_2A^2\\\\ &=\frac{1}{9}\begin{bmatrix} (8-6t){\rm e}^{-t}+{\rm e}^{2t} & (-2+3t){\rm e}^{-t}+2{\rm e}^{2t} & -(1+3t){\rm e}^{-t}+{\rm e}^{2t}\\\\ -(2+6t){\rm e}^{-t}+2{\rm e}^{2t} & (5-3t){\rm e}^{-t}+4{\rm e}^{2t} & (-2+3t){\rm e}^{-t}+2{\rm e}^{2t}\\\\ (-4+6t){\rm e}^{-t}+4{\rm e}^{2t} & (-8+3t){\rm e}^{-t}+8{\rm e}^{2t} & (5-3t){\rm e}^{-t}+4{\rm e}^{2t} \end{bmatrix} \end{aligned}$