5.7 在二叉树中计算平衡因子
首先对于n=1的基础情况是平凡的：
1）直接的归纳假设：我们已知如何计算节点数小于n的二叉树的全部节点的平衡因子。
对于一棵n>1的树，去掉根节点归纳求解剩下的两棵子树(因为节点的平衡因子只取决于左右子树的高度差)，然而虽然我们知道子树(<=n-1)的平衡因子，但是根的平衡因子并不取决于此，必须知道子树高度才可以；所以扩展：
2）更强的归纳假设：已知如何计算节点数小于n的二叉树的全部节点的平衡因子和高度。
有了子树高度，则计算根的平衡因子(子树高做差)和高度(子树高度最大值再加一)就非常简单了；
通过归纳，我们仅需把一个小规模问题的解扩展到一个大问题的解，如果解是更广泛的(因为问题被归纳扩展了)，
则归纳步骤可能更容易，这是因为我们有更多的东西可以利用了；
5.8 寻找最大连续子序列
(若所有数值均为负数，则最大子序列为空，和为0)
1）直接归纳假设：已知如何找到规模小于n的序列的最大子序列
对于上面最后一种情况，如果直接利用如上假设是很难求出其值的；考虑上面最后一种情况，加入Xn之后的最大子序列：此时存在最大子序列的位置有两种情况，一个是存在于原有的j<=n-2的原串内部；另一个是位于新加入的Xn与原串的后缀所组成的新的子序列。所以为了容易的判断这两个位置的子序列的大小，扩大原有假设如下：
2）更强的归纳假设：已知如何找到规模小于n的序列的最大子序列，以及包括其后缀所组成的最大子序列。
如上分析如果知道了这两个子序列，那么算法就明确了。对于包括后缀的最大子序列如果和为0则直接比较Xn与内部最大子序列的和即可，选两者较大者得解；
（如下算法，Suffix_Max=0即包括后缀的最大子序列之和）
5.9 增强归纳假设
5.10 动态规划：背包问题
数学化：用P(n,K)表示该问题，n表示物品的数目而K表示背包的大小；P(i,k)表示前i个物品和背包大小为k的问题。
归纳假设（最初的设想）：已知如何求解P(n-1,K)；
**基础情况**是显然的：如果单一物品的大小为K，则仅此一解；
**n>1时**，分情况：
1.如果对于P(n-1,K)有一个解，则算法直接结束(不需要物品n即可)；
2.若P(n-1,K)无解，则求解过程中必须包括物品n，而之前的n-1个物品放进K-kn的背包中求解是否可解；
所以由上分析规约到较小的规模必须求出P(n-1,K)和P(n-1,K-kn)(即不仅需要对大小为K的背包求解，还要为所有不大于K的背包求解)
归纳假设（第二次设想）：已知如何求解P(n-1,k)，其中0<=k<=K.
基础情况P(1,k)很容易：若k=0，则无解，否则只有此物品大小为k时才有一解；
把P(n,k)规约到两个子问题P(n-1,k)和P(n-1,k-kn)(当k-kn<0时忽略此情况)；两个子问题均可归纳地解决。
虽然问题通过加强归纳可以解决，然而此算法每次由父问题规约为2个子问题，所以他将导致一个指数级的算法。
其实这个问题的解决在之前我们也遇到过，指数式的运行时间是因为每经过一次规约后就对问题的数目加倍，但是这里的情况是比较特殊的；因为其总问题的规模是一定的为nK(对于P(i,k)，i的规模为n，k的规模为K)，每次规约的过程只不过是对于子问题的多次重复使用，所以对于之前的结果我们可以借助一个n*K的二维表格用来保存之前的子问题结果即可，每次父问题的解只需在表格中取出即可；
复杂度：表格共nK项，且每一项由其他两项在常数时间内计算所得，所以为O(nK)；
总结：当一个问题可以归约到几个小一些但又不是足够小的子问题时，动态规划方法是有效的。
所有的子问题都可以被计算，我们将维护一个大的矩阵来进行这种计算(空间换取时间)。
5.11 常见错误
1.忘记了基础情况，基础情况对于终止递归是必须的；
2.错误的把对于n的解扩展到问题对于n+1时的一个特定实例的解，而不是对于任意实例；
3.无意识的改变假设（如对于连通无向图的操作当中，利用归纳假设时在删除一点的情况下考虑较小的规模，而在这里删除一点可能造成图不再是连通的，从而导致了较小规模的实例不等同于原实例；在这里更好的解法是其不依赖于图是否连通）
5.12 小结
第六章 数列和集合的算法
序列需考虑元素的顺序，集合中不能出现重复元素。
6.2.1 纯二叉树搜索
这个算法比较常见，思想及过程很简单不再赘述；
6.2.2 循环序列的二叉搜索
6.2.3 二叉搜索特殊下标
因为对于序列值是不知道的而且i是变动的，所以不可以直接使用纯二叉搜索；但此处仍可以借助二叉搜索原理求解：因为所有整数均是不同的，找到a(n/2)的元素与n/2的大小比较，若元素小于其下标则其左半序列可直接舍去(因为元素均不相等且与下标均为整数，其左半元素一定均小于其各自下标)；若大于原理相同，算法如下：
6.2.4 二叉搜索长度未知的序列
这里的做法很好的扩展了思维，值得学习和思考；
当人们一看到二叉搜索时首先、大多都是想到的是缩小一倍的规模来求解；而这里反其道而行，从小的出发每次扩大一倍的规模进行寻找：
重要的不是其适用的形式以及所受到的限制(当然这些细节很重要)，但更重要的是其思维方式的转变、算法的活学活用。
在一个有序的序列中查找一个元素等于Z（不论序列是否有界），从第一个元素开始i=0，若Z<=Ai则结束，否则扩展为2i位置处，从i到2i间寻找，依次2i到4i等等；其花费的时间复杂度与i是相关的为O(log i)而相比直接从1到n缩小规模搜索其复杂度为O(log n)还要小！(但是这里的细节还是要注意一下的：因为他是先扩大规模寻找大致范围，确定范围之后还需要再次进行缩小规模二叉搜索，所以其复杂度相当于时间上的二次放因子，故当i=O(n^(1/2))时算法最优)
6.2.5 重叠子序列问题
重叠子序列：可以把B的字符按序嵌入A中，嵌入的位置不必连续，则B为A的子序列。
对于验证是否为子序列的基本算法是很明确的：即从头开始扫描A直到b1第一次出现，继续扫描直到b2出现，依次类推即可，其时间复杂度为O(m+n)；现在要求的是i的最大值：如果B^j为A的子序列，则对于1<=i<=j的任意i，一定有B^i也为A的子序列，且i<=n/m（n为A的长度，m为B的长度），有了上面这个性质那么我们就可以使用二叉搜索了：令
6.3 内插搜索
二叉搜索总是把空间简单的减半，从而保证其性能是对数级的。
但是简单的减半并不是最优的，每次减少的规模不应该是固定死的，而是应该根据实际情况做出相应的减少规模的变化；
比如查找一本800页的书的第150页，不应该只是每次简单的直接减半查找(虽然可行，但是显然不够高效)，
我们应该直接找其大约1/5处比如翻到了200页，此时也不是减半而是大概找其3/4处，依次类推下去；
这正体现了内插搜索的思想：也就是根据最可能接近目标的量来缩小搜索范围，而不是简单的将搜索空间减半，而其每次缩小的规模是由内插法决定的。
其算法步骤根二叉搜索无异，只是单侧界限是根据搜索比例计算出来的；其平均时间复杂度为O(log log n)，虽然其性能有指数级进步但实际情况下并不明显：1）除非n很大，否则log n本身已经足够小了；2）每次单侧计算规模是相对复杂的。