线段树
线段树是一种二叉树（平衡二叉树），也被归类为二叉搜索树（广义上）。它是一种用于对区间修改、维护和查询的工具，可以优化时间复杂度至log级别。
基本思想
把一个大区间划分为两个小区间，然后把两个小区间分别划分为两个更小的区间，不断这样划分下去，直到区间内只有一个数据为止。 每个区间存放一个或者多个数据（比如：区间的和，区间的最大值，区间的最小值），以树的形式存放这些数据，则构成了一颗二叉树。 这种存放区间数据的二叉树就是线段树。
适合场景：
- 满足区间加法：区间的和，区间的差。
- 满足区间乘法：区间的乘积。
- 满足区间最值：区间最大值，区间最小值
不适合场景：
- 区间的众数
- 区间最长连续问题
- 最长不下降问题
线段树的维护：小区间的值更新大区间的值。
线段树主要分为三步：构建线段树，更新线段树（单点修改、区间修改），区间查询。
1、建树
存储方式：堆
对于下标为i的结点，其左孩子的下标为2*i，右孩子的下标为2*i+1，父结点的下标为i//2（//表示整除）。
2、单点修改/区间修改
1）单点修改
·如果要查询的区间完全覆盖当前区间，就直接返回当前区间的值；
·如果查询区间和左孩子有交集，则搜索左孩子；
·如果查询区间和右孩子有交集，就搜索右孩子；
·最后合并处理两边查询的数据。
2）区间修改（需要使用lazy标记）
·如果要修改的区间完全覆盖当前区间，则直接更新这个区间，打上lazy标记；
·如果没有完全覆盖，且当前区间有lazy标记，先下传lazy标记到子区间，再清除当前区间的lazy标记；
·如果修改区间和左孩子有交集，就搜索左孩子；
·如果修改区间和右孩子有交集，就搜索右孩子；
·最后将当前区间的值更新。
lazy标记：将此区间标记，表示这个区间的值已经更新，但是它的子区间却没有更新，更新的信息就是标记保存的值。
3、区间查询
·如果要查询的区间完全覆盖当前区间，就直接返回当前区间的值；
·如果没有被完全包含，则下传lazy标记；
·如果查询区间和左孩子有交集，搜索左孩子；
·如果查询区间和右孩子有交集，搜索右孩子；
·最后合并处理两边查询的数据。
python代码
# 构建树
def build_tree(arr, tree, node, start, end):
'''
:param arr: 数据列表（数组）
:param tree: 树结构（数组）
:param node: 结点
:param start: 数据数组的起始位置
:param end: 数据数组的结束位置
'''
#print(node, start, end)
# 递归出口（为叶子结点时，已经递归到最底部）
if start == end:
tree[node] = arr[start]
else:
mid = (start+end)//2 # 区间中间位置
l_node = 2*node+1 # 左孩子结点
r_node = 2*node+2 # 右孩子结点
build_tree(arr, tree, l_node, start, mid) # 递归计算左结点，（start, mid）左区间
build_tree(arr, tree, r_node, mid+1, end) # 递归计算右结点，（mid+1, end）右区间
tree[node] = tree[l_node] + tree[r_node] # 当前结点的值为左结点与右结点的和
# 更新树（单点修改）
def update_tree(arr, tree, node, start, end, index, value):
'''
:param index: 待更新的结点位置
:param value: 待更新的值
'''
# 递归出口
if start == end:
arr[index] = value
tree[node] = value
else:
mid = (start+end)//2 # 区间的中间位置（用来确定左右区间）
l_node = 2 * node + 1 # 左孩子结点
r_node = 2 * node + 2 # 右孩子结点
# 左区间
if (index >= start) and (index <= mid):
update_tree(arr, tree, l_node, start, mid, index, value)
# 右区间
else:
update_tree(arr, tree, r_node, mid+1, end, index, value)
# 更新结点的值
tree[node] = tree[l_node] + tree[r_node]
# 区间查询
def query_tree(arr, tree, node, start, end, L, R):
'''
:param L: 查询区间的起始位置
:param R: 查询区间的结束位置
:return: 返回查询区间内数值的和
'''
#print("start = {}".format(start))
#print("end = {}".format(end))
# 极端情况，不在区间范围之内
if R < start or L > end:
return 0
# 到达叶子结点（递归出口）
elif start == end:
return tree[node]
# 当整个右子树区间整个包含在查询区间内，直接返回当前结点的值（优化，防止做无用的查询操作）
elif L <= start and end <= R: # 剪枝
return tree[node]
else:
mid = (start+end)//2 # 区间的中间位置
l_node = 2 * node + 1 # 左孩子结点
r_node = 2 * node + 2 # 右孩子结点
# 左区间查询
sum_l = query_tree(arr, tree, l_node, start, mid, L, R)
# 右区间查询
sum_r = query_tree(arr, tree, r_node, mid+1, end, L, R)
return sum_l + sum_r # 返回区间结点的和
if __name__=="__main__":
print("--------构建---------------")
arr = [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17] # 数据
max_len = 100 # 设置线段树的大小
tree = [0] * max_len # 线段树
build_tree(arr, tree, 0, 0, len(arr)-1)
for i in range(15):
print("tree[{}] = {}".format(i, tree[i]))
print("--------更新---------------")
index = 5 # 位置
value = 1 # 更新值
update_tree(arr, tree, 0, 0, len(arr)-1, index, value)
for i in range(15):
print("tree[{}] = {}".format(i, tree[i]))
print("--------查询---------------")
L = 3
R = 6
res = query_tree(arr, tree, 0, 0, len(arr)-1, L, R)
print(res)