数学公式【合集】

泰勒展开式

$使用前提：极限\to 无穷小$

$推导原理:麦克劳林公式f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+......+\frac{f^{(n)}(0)x^n}{n!}+o(x^n)$

$助记：sinx,tanx分别与arcsinx,arctanx的x^3符号相反,f(0)=1含有1【注意别漏O(x^n)】$

$1.sinx=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5+o(x^5)$

$2.cosx=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4+o(x^4)$

$3.tanx=x+\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)$

$4.arcsinx=x+\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)$

$5.arctanx=x-\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)$

$6.ln(1+x)=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4+o(x^4)$

$7.e^x=1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{n!}{x}^n+o(x^n)$

$8.(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}{x}^2+o(x^2)$

$当x\to 0时：$
$$\begin{gathered} 1.变型： \\ \sqrt[\alpha ]{1+f(x)}-1=(1+f(x){)}^{\frac{1}{\alpha }}-1\sim \frac{1}{\alpha }f(x)【f(x)为无穷小量才可T】 \\ ln(f(x))=ln(1+(f(x)-1))\sim f(x)-1【f(x)-1为无穷小量才可T】 \\ {e}^{f(x)}-e^{g(x)}=e^{g(x)}(e^{f(x)-g(x)}-1)=e^{g(x)}(f(x)-g(x))[e^{g(x)}为非零因子,代入] \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 2.组合： \\ sinx-tanx=-\frac{1}{2}{x}^3+o(x^3) \\ arcsinx-arctanx=\frac{1}{2}{x}^3+o(x^3) \end{gathered}$$
$3.等价无穷小(等价无穷小是泰勒公式的一种特殊情况)$
$$\begin{gathered} sinx\sim x,ln(1+x)\sim x,tanx\sim x,e^x-1\sim x \\ arcsinx\sim x,arctanx\sim x,1-cosx\sim \frac{1}{x^2},(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x \end{gathered}$$
$无穷小o(x^{低阶})+o(x^{高阶})=o(x^{低阶})$

求导公式

$助记:名称带有"余"字，如余弦cos、余割csc、余切cot，求导都带负号$

$(1)(C{)}^{\prime }=0$
$(2)(x^u{)}^{\prime }=u{x}^{u-1}$
$(3)(sinx{)}^{\prime }=cosx$
$(4)(cosx{)}^{\prime }=-sinx$
$(5)(tanx{)}^{\prime }=se{c}^{2}x=\frac{1}{co{s}^{2}x}$
$(6)(cotx{)}^{\prime }=-cs{c}^{2}x=-\frac{1}{si{n}^{2}x}$
$(7)(secx{)}^{\prime }=sectanx$
$(8)(cscx{)}^{\prime }=-csccotx$
$(9)(a^x{)}^{\prime }=a^{x}lna$
$(10)(e^x{)}^{\prime }=e^x$
$(11)(lo{g}_a^x{)}^{\prime }=\frac{1}{xlna}$
$(12)(lnx{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$
$(13)(arcsinx{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(14)(arccosx{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(15)(arctanx{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
$(16)(arccotx{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$
$(17)[ln(x+\sqrt{x^2+1}){]}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$(18)[ln(x+\sqrt{x^2-1}){]}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

$求导组合运算:$

$(1)(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$
$(2)(Cu{)}^{\prime }=C{u}^{\prime }$
$(3)(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
$(4)(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$

$推导：$
$(tanx{)}^{\prime }=(\frac{sinx}{cosx}{)}^{\prime }=\frac{(sinx{)}^{\prime }cosx-sinx(cosx{)}^{\prime }}{co{s}^{2}x}=\frac{(co{s}^{2}x+si{n}^{2}x)}{co{s}^{2}x}=\frac{1}{co{s}^{2}x}=se{c}^{2}x$
$【简记分母co{s}^{2}x，cotx为tanx倒数则相反分母si{n}^{2}x】$

三角函数

奇变偶不变，符号看象限
$tan(\frac{\pi }{2}x+\frac{\pi }{2})=-cot\frac{\pi }{2}x$

$si{n}^2\alpha =\frac{1-cos2\alpha }{2}$
$co{s}^2\alpha =\frac{1+cos2\alpha }{2}$

$sin(\alpha +\beta )=sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta$
$cos(\alpha +\beta )=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta$
$tan(\alpha +\beta )=\frac{tan\alpha +tan\beta }{1-tan\alpha tan\beta }(与分子同号)$

$二倍角公式+万能公式（2\alpha \to \alpha ）:$
$sin2\alpha =2sin\alpha cos\alpha =\frac{2tan\alpha }{1+ta{n}^2\alpha }$
$cos2\alpha =co{s}^2\alpha -si{n}^2\alpha =\frac{1-ta{n}^2\alpha }{1+ta{n}^2\alpha }$
$tan2\alpha =\frac{2tan\alpha }{1-ta{n}^2\alpha }$

$令u=tan\alpha ,则sin2\alpha =\frac{2u}{1+u^2},cos2\alpha =\frac{1-u^2}{1+u^2},tan2\alpha =\frac{2u}{1-u^2},dx=\frac{2}{1+u^2}【注意tan\alpha 对应sin2\alpha 或cos2\alpha 两倍关系】$

角α	0°	30°	45°	60°	90°
sinα	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
cosα	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
tanα	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$-$

$$\begin{gathered} 名称 \\ tanx正弦，倒数cotx正切：tanxcotx=1 \\ sinx正弦，倒数cscx余割：sinxcscx=1 \\ cosx余弦，倒数secx正割：cosxsecx=1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 常用： \\ ta{n}^{2}x+1=se{c}^{2}x=\frac{1}{co{s}^{2}x}co{t}^{2}x+1=cs{c}^{2}x=\frac{1}{si{n}^{2}x} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 和差化积： \\ sin\alpha +sin\beta =2sin\frac{\alpha +\beta }{2}cos\frac{\alpha -\beta }{2} \\ sin\alpha -sin\beta =2cos\frac{\alpha +\beta }{2}sin\frac{\alpha -\beta }{2} \\ cos\alpha -cos\beta =2cos\frac{\alpha +\beta }{2}cos\frac{\alpha -\beta }{2} \\ cos\alpha -cos\beta =2sin\frac{\alpha +\beta }{2}sin\frac{\alpha -\beta }{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 积化和差：如求\int sinxsin3xdx \\ [\frac{1}{2}(cos(\alpha -\beta )-cos(\alpha +\beta )=sin\alpha sin\beta ] \end{gathered}$$

诱导公式：

x值	$\pi -\alpha$	$\pi +\alpha$	$\frac{\pi }{2}+\alpha$	$\frac{\pi }{2}-\alpha$	$-\alpha$
sinx	$sin\alpha$	$-sin\alpha$	$cos\alpha$	$cos\alpha$	$-sin\alpha$
cosx	$-cos\alpha$	$-cos\alpha$	$-sin\alpha$	$sin\alpha$	$cos\alpha$
tanx	$-tan\alpha$	$tan\alpha$	$-cot\alpha$	$cot\alpha$	$-tan\alpha$
cotx	$-cot\alpha$	$cot\alpha$	$-tan\alpha$	$tan\alpha$	$-cot\alpha$

$(cot与tan同号)周期性：sin(2k\pi +\alpha )=sin\alpha$

百度文库

$cos(\frac{3\pi }{2}-\alpha )[周期]=cos(-\frac{\pi }{2}-\alpha )=cos(\frac{\pi }{2}+\alpha )=sin\alpha$
$sin(\frac{3\pi }{2}+\alpha )=sin(\pi +\frac{\pi }{2}+\alpha )=-sin(\frac{\pi }{2}+\alpha )=-cos\alpha$

百度词条

裴蜀定理
中国剩余定理
欧几里德算法
欧几里德算法扩展

洛必达

$在x=x_0可洛L^{\prime }的使用条件三个：$
$①\frac{0}{0}型或\frac{\infty }{\infty }型$
$②在x=x_0的去心邻域内可导$
$③\frac{F^{\prime }(x)}{f^{\prime }(x)}存在(\frac{0}{0}或\frac{\infty }{\infty })\to \frac{F(x)}{f(x)}可洛$

$$\begin{gathered} 不能L^{\prime }的情况： \\ ①题目仅仅说明f(x)在x=x_0可导 \\ ②x\to 0时含有sin\frac{1}{x}，cos\frac{1}{x}因子或x\to \infty 含有sinx,cosx因子 \\ ③用完后极限不存在，说明L^{\prime }不行，不代表极限不存在 \end{gathered}$$

函数图像

反三角函数：

看图像可记住：
$arcsinx+arccosx=\frac{\pi }{2}(x\in [-1,1])$

$arcstanx+arccotx=\frac{\pi }{2}(x\in (-\infty ,\infty ))$

$arcstanx+arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}$
$补充：$
$$\begin{gathered} arcsin(sinx)=x(x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]) \\ sin(arcsinx)=x(x\in [-1,1]) \end{gathered}$$

心形线（外摆线的一种）：

摆线：

规律公式

$(1+2+3+...+n)=\frac{(1+n)n}{2}=(首项+末项)\ast 项数/2[等差数列求和]$

$$\begin{gathered} 补充： \\ (x-1{)}^3=x^3-3x^2+3x-1=C_3^0{x}^3(-1{)}^0+C_3^1{x}^2(-1{)}^1+C_3^2{x}^1(-1{)}^2+C_3^3{x}^0(-1{)}^3 \end{gathered}$$
$(x+1{)}^3=x^3+3x^2+3x+1$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

$等差数列前n项和：\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}=\frac{(首项+末项)\cdot 项数}{2}=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$

$等比数列(a_1首项,q为公比)=\{\begin{array}{l}\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}q\ne 1\\ n{a}_{1}q=1\end{array}$

$曲率公式：y=f(x)在x点的曲率为k=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}$$曲率半径\rho =\frac{1}{k}$

不等式

$三角不等式：||b|-|a||⩽|b-a|⩽|a|+|b|$ (两边之和大于第三边)

$均值不等式：a^2+b^2⩾2ab,或|ab|⩽\frac{a^2+b^2}{2}$
$均值不等式一般化[a_i⩾0]：\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}⩾\sqrt[n]{a_1{a}_2...a_n}$

$\frac{x}{x+1}⩽ln(1+x)⩽x(x>-1)$

$sinx<x<tanx(0<x<\frac{\pi }{2})$

$e^x⩾x+1(x⩾0)$

极限求导积分-Part2