一、拟合的引入
拟合：给定测量数据 (xi,yi), 要求构造函数y=φ(x)，使得y=φ(x)在某种意义下到这些数据点的距离最小。
通常，假设φ(x)的函数结构已知，为了得到具体的函数表达式，只需要确定其中的某几个参数。
最小二乘拟合：在确定参数时，要求误差平方和最小，即
二、拟合函数的求解
最小二乘拟合问题
在科学研究和工程实践中，经常需要从一组实验（或观察）数据(xi,yi)中寻找因变量y和自变量x之间的函数关系y=f(x)。由于观测数据往往不够准确，因此并不要求y=f(x)经过所有的点(xi,yi)，而只要求误差ei=f(xi)-yi 按照某种准则达到最小。通常，以
∑ i = 1 n \sum_{i=1}^n ∑i=1n e i e_i ei2 = ∑ i = 1 n \sum_{i=1}^n ∑i=1n[ f( x i x_i xi) - y i y_i yi ]2
作为误差的度量标准，这就是所谓的最小二乘法。
例题
可以看到，我们需要求得以上数据的拟合曲线，我们有两种方法可求。
方法一：
我们可以通过求解矛盾方程组
x i x_i xi2 c(1) + x i x_i xi c(2) + c(3) = y i y_i yi, (i = 1,…,6)
可写成A c =b的形式（类似于插值）
求解方程组的最小二乘解即可得到多项式拟合的系数c
方法二：
利用多项式拟合函数—polyfit
使用格式：a=polyfit(x,y,n)
功能：用n次多项式对给定的数据点进行最小二乘拟合。
参数说明：x,y 是给定的数据点的坐标向量，n是多项式的次数，a是多项式的系数向量（按降幂排列，长度为n+1）
代码如下：
x=[0.5:0.5:3]';
y=[1.75, 2.45, 3.81, 4.80, 8.00, 8.60]';
%% 方法一：通过求解矛盾方程组
% A=zeros(6,3);
% for i =1:6
% A(i,1)=x(i)^2;
% A(i,2)=x(i);
% A(i,3)=1;
% end
% b=y;
% c=A\b;
%% 方法二：利用ployfit
c=polyfit(x,y,2);
%% 画多项式曲线
%方法一：用plot
%x0=0.5:0.05:3;
%y0=c(1)*x0.^2+c(2)*x0+c(3);
%plot(x0,y0,'b-',x0,y0,'r+');
%legend('拟合曲线','数据点','Location','NorthWest')
%方法二：用fplot
f=@(x)polyval(c,x);
fplot(f,[0.5, 3]);
hold on
plot(x,y,'r+');
拟合得到的曲线：
方法和上面的例题是类似的，就不多说了
方法一：
x=[19 25 31 38 44]';
y=[19.0 32.3 49.0 73.3 98.8]';
%构造系数矩阵
% A=zeros(5, 2);
% for i = 1:5
% A(i, 1)=1;
% A(i, 2)=x(i)^2;
% end
%或者
A=[ones(5,1), x.^2];
b=y;
c=A\b;
a=c(1);
b=c(2);
%画拟合曲线
f=@(x)a+b*x.^2;
fplot(f,[19, 44]);
hold on
plot(x, y ,'r+');
e=f(x)-y;
MSE=mean(e.^2)
MAE=mean(abs(e))
方法二：
x=[19 25 31 38 44]';
X=x.^2;
y=[19.0 32.3 49.0 73.3 98.8]';
%用y=a+b*x^2 对数据点进行最小二乘法拟合
%令X=x^2
%则 y=a+b*X
c=polyfit(X, y, 1);
%y=c(1)*X+c(2)
a=c(2);
b=c(1);
%画拟合曲线
f=@(x)a+b*x.^2;
fplot(f,[19, 44]);
hold on
plot(x, y ,'r+');
两种方法拟合的曲线是类似的，拟合的效果也比较好
三、一般的非线性最小二乘拟合
某些非线性最小二乘问题可以转化为线性最小二乘问题进行求解
例如
x=[-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5];
y=[0.11 0.34 0.73 1.27 1.81 2.00 1.79 1.30 0.73 0.35 0.14];
用y=a*exp(-x2/b2)
x=[-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5];
y=[0.11 0.34 0.73 1.27 1.81 2.00 1.79 1.30 0.73 0.35 0.14];
figure
plot(x,y,'r+'); %在图一中画出数据点的分布
%y=a*exp(-x^2/b^2)
%log(y)=a-x^2/b^2
%令X=x^2, Y=log(y)
%则，Y=c(1)*X+c(2),
%其中，c(1)=-1/b^2, c(2)=log(a)
X=x.^2;
Y=log(y);
figure(2)
plot(X,Y,'m+'); %图二中画出X,Y的分布
c=polyfit(X,Y,1);
a=exp(c(2));
bb=-1/c(1);
b=sqrt(bb);
figure(1)
hold on
f=@(x)a*exp(-x.^2/b^2); %拟合得到的曲线
fplot(f,[-5, 5]);
得到的图像如下图
对于那些不可转化为线性最小二乘问题进行求解的情况
可使用函数进行求解——lsqnonlin和lsqcurvefit
lsqnonlin
用于求解非线性最小二乘问题
sum {FUN(a).^2}
其中, a为待求的参数（向量）, FUN(a) 为残差向量。
使用格式：
a） a= LSQNONLIN(FUN,a0)；
b） a = LSQNONLIN(FUN,a0,LB,UB)；
lsqcurvefit
用于求解非线性最小二乘拟合问题
sum {[FUN(a,xdata)-ydata].^2}
其中, a为待求的参数（向量）,xdata和ydata为要拟合的数据点（自变量 x和因变量y的观测值），FUN(a,x) 为给定参数a和自变量x时，根据拟合公式计算因变量y的值的函数。
使用格式：
1）X = LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA)
2）X = LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,LB,UB)
对了，还有一个函数 fit
常用格式：
FO = fit(X,Y,fittype)
FO = fit(X,Y,fittype, ‘StartPoint’, P0 )
功能: 用fittype指定的模型对数据X，Y进行曲线或曲面拟合，得到的是一个fit对象。
X必须是含1列（曲线拟合）或2列（曲面拟合）的矩阵，Y必须是列向量，X和Y的行数要相同 。P0是待求参数的初值（向量）。
Fittype用于指定拟合函数的类型或形式。
直接看例题吧
%产生数据点
x0=0:0.2:4;
y0=3*exp(-0.4*x0)+12*exp(-3.2*x0);
y0=y+randn(size(y0))*0.3;
figure(1)
plot(x0,y0,'r+');
hold on
%对这些数据点用y=a*exp(b*x)+c*exp(d*x)
%进行最小二乘拟合
%% 方法一.利用lsqnonlin
%首先定义计算在各个数据点处误差构成的向量
err_fun = @(c) c(1)*exp(c(2)*x0) + c(3)*exp(c(4)*x0)-y0;
c0=[2.5 0 0 0];
c=lsqnonlin( err_fun, c0);
f=@(x) c(1)*exp(c(2)*x) + c(3)*exp(c(4)*x);
fplot(f,[0, 10])
e=err_fun(c);
MSE=mean(e.^2)
%% 方法二. 用lsqcurvefit
fun=@(c, x) c(1)*exp(c(2)*x) + c(3)*exp(c(4)*x);
c0=[2.5 0 0 0];
c=lsqcurvefit( fun, c0, x0, y0);
figure(2)
plot(x0, y0, 'r+');
hold on
f=@(x) fun(c, x);
fplot(f, [0, 4])
%% 方法三. 利用fit
f_type=fittype('a*exp(b*x)+c*exp(d*x)',...
'independent', 'x', ...
'coefficients', {
'a', 'b', 'c', 'd'} );
fo=fit(x0', y0', f_type, 'StartPoint',[2,0,0,0]);
figure(3)
fun=@(x)f(x)
fplot(fun,[0,4])
hold on
plot(x0, y0,'r+')
三种方法求得的图像：
四、最最最简单的拟合方法
看过上面的例题和函数求解方法，我们惊讶的发现——这是什么东西，根本看不懂
然鹅，我们也会惊讶的发现，曲线的拟合是有捷径可走的。
在控制台输入cftool命令
或者点击 APP—Curve Fitting 就能进入Matlab中的曲线拟合工具
选择要拟合的x，y变量 ，并选定要拟合的函数类型就能直接进行拟合分析，肥肠银杏。