插值与拟合

定义

在实际问题中，一般通过实际观测得出一个函数 $y=f(x)$ ，并知道有限个点。
$yi = f(xi), i = 0, 1, ... ,n$

当需要知道 $x0,x1,...,xn$ 之间的点x的函数值，那么就需要进行插值，常用一些较简单的，满足条件的函数 $g(x)$ 来代替 $f(x)$ ，这就是插值法。要经过已知的数据点。

拟合也是已知有限个数据点，求近似函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小，即最佳地拟合数据。

分段线性插值

将每个相邻点用直线连起来。如此形成的折线就是分段线性插值。

样条插值

使得插值函数更加光滑。将具有一定光滑性的分段多项式称为样条函数。

MATLAB实现插值

拉格朗日插值法：

%% 设n个节点数据以数组x0, y0输入（注意Matlat 的数组下标从1 开始），m 个插值点以数组x 输入，输出数组y 为m 个插值
function y=lagrange(x0,y0,x);
n=length(x0);m=length(x);
for i=1:m
    z=x(i);
    s=0.0;
    for k=1:n
        p=1.0;
        for j=1:n
            if j~=k
                p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
            end
        end
        s=p*y0(k)+s;
    end
    y(i)=s;
end

埃尔米特(Hermite)插值

%% 设n个节点的数据以数组x0（已知点的横坐标），y0（函数值），y1（导数值）输入（注意Matlat 的数组下标从1 开始），m 个插值点以数组x 输入，输出数组y 为m个插值。
function y=hermite(x0,y0,y1,x);
n=length(x0);m=length(x);
    for k=1:m
        yy=0.0;
        for i=1:n
            h=1.0;
            a=0.0;
            for j=1:n
                if j~=i
                    h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;
                    a=1/(x0(i)-x0(j))+a;
                end
            end
        yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));
        end
    y(k)=yy;
end

一维插值函数

语法：y = interp1(x0, y0, x, ‘method’)
method指定插值的方式，默认为线性插值。有以下几种插值方法：

‘nearest’ 最近项插值
‘linear’ 线性插值
‘spline’ 立方样条插值
‘cubic’ 立方插值
所有插值方法要求 $x0$ 是单调的。
当 $x0$ 位等距时可以用快速插值法，使用快速插值法的格式为 ‘*nearest’、 ‘*linear’、 ‘*spline’、 ‘*cubic’。

三次样条插值

一维插值函数：
利用样条函数进行插值，即取插值函数为样条函数，称为样条插值。
y = interp1(x0, y0, x, ‘spline’);
y = spline(x0, y0, x);
pp = csape(x0, y0, conds);
pp = csape(x0, y0, conds, valconds); y = ppval(pp, x);
其中 $x0, y0$ 为已知数据点，x是插值点，y是插值点的函数值。

举例：12小时内，每小时测量一次室外温度，并进行样条插值
这里写图片描述

几种一维插值方式比较：

clc,clear
x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15];
y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6];
x=0:0.1:15;
y1=lagrange(x0,y0,x); % 调用前面编写的Lagrange插值函数
y2=interp1(x0,y0,x);
y3=interp1(x0,y0,x,'spline');
pp1=csape(x0,y0); y4=ppval(pp1,x);
pp2=csape(x0,y0,'second'); y5=ppval(pp2,x);
fprintf('比较一下不同插值方法和边界条件的结果:\n')
fprintf('x y1 y2 y3 y4 y5\n')
xianshi=[x',y1',y2',y3',y4',y5'];
fprintf('%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\n',xianshi')
subplot(2,2,1), plot(x0,y0,'+',x,y1), title('Lagrange')
subplot(2,2,2), plot(x0,y0,'+',x,y2), title('Piecewise linear')
subplot(2,2,3), plot(x0,y0,'+',x,y3), title('Spline1')
subplot(2,2,4), plot(x0,y0,'+',x,y4), title('Spline2')
dyx0=ppval(fnder(pp1),x0(1)) %求x=0处的导数
ytemp=y3(131:151);
index=find(ytemp==min(ytemp));
xymin=[x(130+index),ytemp(index)]

效果：
这里写图片描述
二维插值函数：
z = interp2(x0, y0, z0, x, y, ‘method’)
其中x0，y0分别为想m维和n维向量，表示节点，z0为n*m维矩阵，表示节点值，x,y为一维数组，表示插值点，x与y应是方向不同的向量，即一个是行向量，一个是列向量，z为矩阵。
如果使用三次样条插值，可以使用命令
pp = csape({x0, y0}, z0, conds, valconds); z = fnval(pp, {x, y});

举例：
这里写图片描述

MATLAB实现拟合

线性最小二乘法

问题：已知一组数据，即平面上n个点，i=1,2,…,n,xi互不相同，寻求一个函数y = f(x)，使f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。
令 $f(x) = a1r1(x) + a2r2(x) + ... + amrm(x)$ ，其中 $rk(x)$ 是事先选定的一组线性无关的函数， $ak$ 是待定系数。
拟合准则是使 $yi$ , $i = 1, 2,..., n$ ，与 $f(xi)$ 的距离 $δi$ 的平方和最小，称为最小二乘准则。

多项式拟合方法

a = ployfit(x0, y0, m)，其中输入参数x0, y0为要拟合的数据，m为拟合多项式的次数，输出参数a为拟合多项式 $y = a(1)x^m+...+a(m)x+a(m+1)$ 的系数向量a = [a(1),…,a(m),a(m+1)]。
多项式在x处的值y可用下面的函数计算y = polyval(a,x)
举例：
这里写图片描述

最小二乘优化

用于求解最小二乘优化问题的函数有lsqlin、lsqcurvefi、lsqnonlin、lsqnonneg

x = lsqcurvefit(‘fun’, x0, xdata, ydata, options);
x = lsqnonlin(‘fun’, x0, options);

定义