matlab学习--插值和拟合

在平面上给定一组离散点列，要求一条曲线，把这些点按次序连接起来，称为插值。
分段线性插值是指将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成一条折线就是分段线性插值函数，记作$I_n(x)$。
样条插值的概念：数学上将具有一定光滑性的分段多项式称为样条函数。利用样条函数进行插值，取插值函数为样条函数，称为样条插值。
1.一维插值函数：Matlab中现成的一维插值函数interp1，语法为y=interp1(x0,y0,x,'method')。method为插值的方法，默认为线性插值，其值可以是：
- nearest 最近项插值
- linear 线性插值
- spline 立方样条插值
- cubic 立方插值
所有的插值方法要求x0单调，当x0为等距时可以用快速插值法，使用快速插值法的格式为‘*nearest”*linear”*spline”*cubic’
2.三次样条插值：在matlb中数据点称为断点。如果三次样条插值没有边界条件，最常采用的方法为非扭结（not-a-knot）条件。该条件强迫第一个和第二个三次多项式的三阶导数相等。对最后一个和倒数第二个三次多项式也做同样的处理。
Matlab中三次样条插值有如下函数：

y=interp1(x0,y0,x,'spline');
y=spline(x0,y0,x);
pp=csape(x0,y0,conds);
pp=csape(x0,y0,conds,valconds);
y=fnval(pp,x);

x0,y0是已知点，x是插值点
cspae返回值是pp形式，要求插值的函数值必须调用函数fnval.
pp=caspe(x0,y0)使用默认的边界条件，即Lagrange边界条件
pp=csape(x0,y0.conds,valconds)中的conds指定插值的边界条件，其值可以是：
- ’complete’边界为一阶导数，导数的值在valconds参数中给出若忽略valconds则按默认情况处理。
- ‘not-a-knot’
- ’periodic‘周期条件
- ’second‘边界为二阶导数二阶导数的值在valconds中的给出，忽略则二阶导数值为[0,0]
- ‘variational’设置二阶导数值为[0,0]
对于一些特殊的边界条件可以通过conds的一个1*2的矩阵来表示，conds元素的取值为0、1、2。
conds(i)=j的含义是给定端点i的j阶导数，即conds的第一个元素表示左边界的条件，第二个元素表示有边界的条件，conds=[2,1]表示左边界为二阶导数，右边界为一阶导数，对应的值由valconds给出。
3.二维插值：若点是二维的，插值函数就是二元函数，即曲面如在某区域测量了若干点的高程，为了画出较精确的等高线图，就要先插入更多的点，计算这些点的高程。
（1）插值结点为网格节点
已知m*n个节点，求（x，y）的插值z。

z=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method')

如果是三次样条插值，可以使用命令：pp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds),z=fnval(pp,{x,y})
(2)插值结点为散乱节点

ZI=griddata(x,y,z,XI,YI)

拟合问题的提法是：已知一组（二维）数据，即平面上的 n个点,寻求一个函数曲线，使函数在某种准则下与其他所欲数据最为接近，即曲线拟合最好。
最小二乘法的Matlab实现：$J(a_1,a_2,...,a_m)=||RA-Y||_2^2$
如果取{$r_1(x),r_2(x),r_m+1(x)$}={$1,x,...,x^m$}.即用m次多项式拟合给定数据，Matlab中有现成的函数a=polyfit(x0,y0,m)
目标函数由若干个函数的平方和构成，这类函数一般可以写成$F(x)=\sum_{i=1}^m f_i^2(x),x\in R^n$。把极小化这类问题称为最小化二乘法优化问题。
用于求解最小二乘法的优化问题的函数用lsqlin、lsqcurvefit、lsqnonlin、lsqnonneg函数。
已知一组离散数据，选择一个较简单的函数f(x)，在一定准则下，最接近这些数据。
如果已知一个较复杂的连续函数y(x),要求选择一个较简单的函数f(x),在一定准则下最接近y(x),就是所谓函数逼近。