求解系统单位冲激响应
01 第十一次作业
一、习题简介
在信号与系统学科中， 系统函数 被定义为变换域内， 线性时不变系统的零状态输出信号与输入信号的比值。 根据这个定义， 让我们可以求出系统函数。 在第十一次作业中， 留有一个练习题， 给定了系统的输入信号的表达式， 得到系统的零状态响应， 求该系统的单位冲激响应。 下面让我们分析一下该习题的求解思路。
二、习题求解
在时域中， 线性时不变系统的零状态响应 与输入信号之间的关系可以使用 卷积运算来描述。 即输出等于输入信号卷积系统的单位冲激响应。 在变换域内， 比如 Laplace 变换， 这个卷积运算关系就变成了成绩关系。 由此我们得到了一个关于系统函数的重要结论， 那就是系统函数对应着系统单位冲激响应的 Laplace 变换。 因此， 本题所要求求解的系统的单位冲激响应， h(t)， 便可以通过所得到的系统函数进行 Laplace 反变换来获得。 因此， 习题求解的第一步就是求该系统的系统函数 H(s)。 练习题前面 已经给出了系统在指数信号作用下的零状态输出， 所以只要将这两个信号变换到 变换域， 它们的比值就是该系统的系统函数。
为了求系统函数， 先将所指导的系统输入信号和输出信号进行 Laplace 变换。 输入信号对应的 Laplace 变换为 s+1 分值1。 输出信号的 包含有三个指数信号， 对应的 Laplace 变换是三个有理分式的叠加。 下面， 再根据系统函数的定义， 将上面两个 Laplace变换相除， 便得到该系统的系统函数， 利用因式分解方法， 进行 Laplace 反变换， 便可以得到系统的单位冲激响应 h(t) 。 这里给出了变换的结果， 这里得到了系统的单位冲激响应。
※ 总 结 ※
本文讨论了第十一次作业中的一道习题， 通过已知线性时不变系统的输入输出信号， 求解系统的单位冲激响应。 直接在时域分析， 则需要通过解卷积运算进行求解。 在变换域内， 利用系统函数的概念， 可以比较方便获得该系统的单位冲激响应信号。
#!/usr/local/bin/python
# -*- coding: gbk -*-
#============================================================
# TEST1.PY -- by Dr. ZhuoQing 2023-05-17
#
# Note:
#============================================================
from headm import *
from sympy import symbols,simplify,expand,print_latex
from sympy import *
#------------------------------------------------------------
s = symbols('s')
Hs = 1/2/(s+1) - 2/(s+2) + 1/(s+3)
Hs = Hs*(s+1)
Hs = apart(Hs)
result = Hs
#------------------------------------------------------------
print_latex(result)
_=tspexecutepythoncmd("msg2latex")
clipboard.copy(str(result))
#------------------------------------------------------------
# END OF FILE : TEST1.PY
#============================================================
H ( s ) = − 0.5 + 1.0 0.5 s + 1.0 − 0.666666666666667 0.333333333333333 s + 1.0 H\left( s \right) = - 0.5 + { {1.0} \over {0.5s + 1.0}} - { {0.666666666666667} \over {0.333333333333333s + 1.0}} H(s)=−0.5+0.5s+1.01.0−0.333333333333333s+1.00.666666666666667
■ 相关文献链接: