利用LAPLACE变换求解微分方程
01 第十一次作业
一、习题简介
这是一个微分方程， 对它左右同时求单边 Laplace 变换， 应用 Laplace 变换的线性特性和微分特性， 将微分运算转换成代数运算。 方程变换成代数方程。 对它进行化简， 便可以得到方程完全解的 Laplace变换。 通过求反变换， 便可以得到方程解的时域表达式。 在第十一次作业中有两个小题， 用于练习利用 Laplace 变换求解微分方程。
二、习题求解
1、第一小题
第一小题， 是一个二阶微分方程。 对方程两边求 Laplace 变换。 第一项， y(t) 的二阶导数， 写出对应的 Laplace 变换， 依次写出每一项的 Laplace 变换。 输入信号 u(t) 也进行 Laplace 变换。 这样得到了关于 Y(s) 的代数方程。 进行化简， 求解出 Y(s)。 对其进行因式分解， 求解 Laplace 反变换。 这是第一小题的结果。
2、第二小题
第二小题， 也是一个二阶微分方程。 对两边求 Laplace 变换， 代入起始条件。 求解 Y(s)。 下面使用因式分解方法， 求解 Y(s) 的反变换。 这个小题有一个特殊之处， 就是它具有一个二阶极点， 对应 s=1。 写出每一项对应的时域信号表达式。 将它们合并在一起， 便得到微分方程的解。 这是本体的解答。
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※ 总 结 ※
本文讨论了应用 Laplace 变换求解微分方程的习题， 通过 Laplace 变换， 大大简化了微分方程的求解。
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