共同点
都是对时域信号进行变换
不同点
小波变换可以看出时间和频率的关系，而傅里叶少了时间的度量。因此一段信号，若它是平稳的，也就是不随时间变化的，那么频率随着时间的变换关系并不那么重要。
但是在我们的生活中，大多数信号是非平稳的，例如ECG信号，心率时刻在变化，信号的频率也是随时间变化的，为此需要引入时间度量。这就是小波的用处之一。
短时傅立叶变化，魏格纳分布也适合
在一段时间内的反映频率变化情况，注意是一段时间内，而不是某个时间点，这涉及了测不准原理【1】
问题：高频信号在时域内很好分辨，低频信号则在频域内容易分辨？
为了解决测不准原理，以及反映出时间的信息。有滑动窗口傅里叶变换
小波可以实现高频处窗口取小，低频处窗口取大。好处是为了解决上面的问题（不大）
寻找最优基的过程很重要，在探索的有稀疏字典 CNN等。有望解决信号的降噪。
后面继续补充！
参考文献：
【1】http://blog.jobbole.com/101976/
【2】http://open.163.com/movie/2011/8/V/J/M8AROL7GG_M8ARST3VJ.html 视频网址信号处理MIT