信号处理——时频分析

前言

自然界中几乎所有信号都是非平稳信号，比如我们的语音信号就是典型的非平稳信号。那么何谓平稳信号和非平稳信号呢？一个通俗的理解即，平稳信号在不同时间得到的采样值的统计特性(比如期望、方差等)是相同的，非平稳信号则与之相反，其特性会随时间变化。在信号处理中，这个特性通常指频率。

通常傅里叶变换只适合处理平稳信号，对于非平稳信号，由于频率特性会随时间变化，为了捕获这一时变特性，我们需要对信号进行时频分析，就包括短时傅里叶变换、小波变换、希尔伯特变换、希尔伯特黄变换这几种变换。以下逐一进行分析介绍。

一、傅里叶变换（Fourier Transform, FFT）

首先考虑一个连续信号的傅里叶变换和它的反变换，如下：
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在实际应用中，计算机只能处理离散信号，所以对连续信号x(t)进行时域采样，得到一组离散样本x(n)，对它进行傅里叶变换得到：

上式即为离散时间傅里叶变换(DTFT)，由于变换后得到的频域值仍然是连续的，我们继续对频域进行采样，得到：
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上式就是离散傅里叶变换(DFT)，当前计算机中常用的快速傅里叶变换(FFT)，就是DFT的快速算法。

然而，傅里叶变换是一种全局的变换，时域信号经过傅里叶变换后，就变成了频域信号，从频域是无法看到时域信息的，我们可以从上节中的傅里叶变换和反变换公式进行解释，进行正变换时，积分区间为整个时域，所以变换结果将不包含时域信息，反变换同理。仅仅通过时域信号或者幅度谱，我们是很难分析非平稳信号的特征的。下面我们将引入一个时频分析( Time-Frequency Analysis)方法——短时傅里叶变换(STFT)。

二、短时傅里叶变换（STFT）

短时傅里叶变换定义为：
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其中x(m)为输入信号，w(m)是窗函数，它在时间上反转并且有n个样本的偏移量。 X(n,w) 是时间 n 和频率 f 的二维函数，它将信号的时域和频域联系起来，我们可以据此对信号进行时频分析。

计算语谱时采用不同窗长度，可以得到两种语谱图，即窄带和宽带语谱图。长时窗（至少两个基音周期）常被用于计算窄带语谱图，短窗则用于计算宽带语谱图。窄带语谱图具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，良好的频率分辨率可以让语音的每个谐波分量更容易被辨别，在语谱图上显示为水平条纹。相反宽带语谱图具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，低频率分辨率只能得到谱包络，良好的时间分辨率适合用于分析和检验英语语音的发音。

可见，对于帧长固定的短时傅里叶变换，在全局范围内的时间分辨率和频率分辨率是固定的。如果我们想要在低频区域具有高频率分辨率，在高频区域具有高时间分辨率，显然STFT是不能满足要求的。我们继续引入另一种时频分析方法——小波变换。

3. 小波变换(Wavelet Transform, WT)

对于任意能量有限信号f(t) ，其连续小波变换(CWT)定义为：
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小波变换在不同时间和频率上具有不同尺寸的时频窗，可以在低频区域实现较高的频率分辨率，然而其仍然受到Heisenberg不确定原理的限制，时间分辨率和频率分辨率不能两全其美。同时小波变换的时频窗并非完全是自适应的，它还需要人为地选择基函数。