注明：本文根据数学建模BOOM网课简单整理，自用
❑ 模型简介
❑ 什么是树
• 连通的无环路的无向图称为树
• 图G1为树
• 图G2不是树，因为不连通。连通是指任意两点间都存在路径，而这图中顶点1无法到达顶点6
• 图G3不是树，因为存在环路。环路是指可经过一段不重复的路径回到顶点本身。
❑ 简单例子
• 张三承包了一个项目，要给6个岛屿铺设海底电缆，使其相互之间能够通信
• 由于地理因素限制，仅有固定的几条线路可以选择，每条线路的铺设费用如图所示
• 请制定计划，实现所有岛屿之间能够通信，且铺设电缆的总费用最低
• 生成树：连通图的一个子图，且是一个树，并且包含图的所有顶点
• 最小生成树：所有生成树中，边的权值之和最小的生成树
• 一个图，可能有多个生成树
• 一个图的所有生成树中，可能有多个最小生成树（有些边长权值相等）
❑ 适用赛题
❑ 通信建设、管道铺设规划
• 已知有X个城市，其相互之间的路径距离已知
• 要求以最小的成本建设通信线路或铺设管道，使得城市之间能够相互连通
• 对应图论，重点在于所有顶点两两之间都存在路径（连通），且总路径（权重之和）最小
❑ 基本特点
• 最小生成树是一个连通图，即任意两点间都存在相互到达的路径
• 最小生成树是从全局角度考虑，使两两之间连通且总路径最短，没有起点和终点的概念
• 最短路径是针对指定源点（起点）和指定终点，求两点间最短路径
• 究竟是考虑全局最短，还是指定的起点与终点最短，是两者的根本区别
• （此外图论还有还有连通、强连通、极小连通子图、顶点与生成树个数关系等等概念，属于
数据结构的内容，在此不多讲）
❑ 典型例题与原理讲解
❑Prim算法
❑ 以简单例子讲解Prim算法
• 始终围绕顶点来操作
• 基本思路：随便从某顶点开始，不断将权值最小的直接相连的边及相连顶点添加到树中
• 适合边多点少的图
❑Kruskal算法
• 始终围绕边来操作
• 基本思路：先构造只有顶点的图，按权重对所有边排序（升序），不断将不构成回路的边添加到树中
• 适合点多边少的图（与prim算法得出结果相同）
❑ 架设通信线路
• 一个乡镇有9个村，其间道路与道路长度如图所示，边上标的权重代表距离
• 要在村之间架设通信线路，如何拉线才能使总用线最短？
❑ 题目分析
• 通信线路需要连通所有村：任意两个顶点间，一定存在可以互相到达的路径
• 总用线最短：权值之和最小
• 和最短路径的区别：最短路径针对某一顶点作为起点而言，最小生成树是所有顶点连通且总路径最小
❑ 代码求解
❑ MATLAB的minspantree函数
• 求得的最小生成树就是图中红线部分
• 按最小生成树架设通信线路可使总用线最短，最短为13
❑ 注意事项
• 代码求解很简单，写出邻接矩阵，调用函数即可
• 对于做数模来说已经足够了
• 本期课程未讲解Prim算法和Kruskal算法实际代码实现（可以自行百度，能搜到很多现成的）
❑ matlab代码
clc,clear
% matlab中，不存在的边设置成0
% 9个顶点，初始化定义9x9的全零矩阵作为邻接矩阵
a = zeros(9);
% 注意，最小生成树是针对无向图的，每条边权重只需要设一次。1到2和2到1是同一条边
% 因此，可仅使用邻接矩阵的上三角矩阵来构造图G
a(1,[2:9])=[2 1 3 4 4 2 5 4]; % 顶点1到其他顶点的边的权重
a(2,[3 9])=[4 1]; % 顶点2到顶点3、顶点9的边的权重
a(3,4)=1; % 同上。因为写过1到3，和2到3的边的权重，无需重复设
a(4,5)=1;
a(5,6)=5;
a(6,7)=2;
a(7,8)=3;
a(8,9)=5;
% cellstr和graph在最短路径课程中讲过
s=cellstr(strcat('v',int2str([1:9]')));
G=graph(a,s,'upper'); % upper表示仅使用 A 的上三角矩阵来构造图G。
p=plot(G,'EdgeLabel',G.Edges.Weight); % 绘制出图G
% minspantree函数求解最小生成树
% T=minspantree(G)是默认使用Prim算法
T=minspantree(G,'Method','sparse'); % method选择sparse表示指定使用Kruskal算法
L = sum(T.Edges.Weight) % 对最小生成树的边的权重求和
highlight(p,T,"EdgeColor","red",'LineWidth',2.5)