目标检测Object Detection下的P-R曲线，AP，mAP，AUC，ROC曲线详解

一,P-R曲线

上篇文章我们详细说了一下Detection中的Recall和Precision的计算，P-R曲线就是Precision和Recall画出的曲线。横轴是Recall，纵轴是Precision，那是什么的变化产生了这么多组PR值的呢？

答案：置信度。

举个栗子，已知在IOU为0.5的时候，一个检测网络检测猫狗鸡三种目标，输出如下结果：

以检测猫为例，画出P-R曲线？

首先，我们要计算出每个置信度下的TP和FP，以及TP+FN
计算过程，当我们只看第一个置信度最高的检测结果的时候，结果如下，计算出一组P，R

当我们把置信度拉到0.95，只看前两个计算结果的时候，计算出一组P，R

以此类推，我们计算出在所有置信度下的所有P，R值

然后将Recall作为横轴，Precision作为纵轴，画图

这样,我们就画出了在IOU0.5下模型检测猫的P-R曲线

二,AP( 等价于 $AU{C}_{PR}$)

有了P-R曲线,要计算AP(Average Precision)直接求P-R曲线下的面积就行了,通常来说就是一个积分:
$$AP={\int }_0^{1}p(r)\mathrm{d}r$$

当然，不可导的地方我们可以分段积分。

但是，一般我们不直接去这么算,会简化一下，求个近似：
$$p_{interp}(r)=\underset{\tilde{r}\ge r}{\max }p(\tilde{r})$$
如图中橙色曲线所示：

橙色曲线下的面积就很容易求了，Pascal VOC2008是使用11点[0,0.1,0.2,0.3…0.9,1.0]对应点的转换精度值$P_{interp}$相加然后除以11得到AP。
在我们这个例子中， 最终猫分类的AP=(1+1+1+0.8+0.8+0.75+0.75+0.72+0.72+0.57+0.57)/11=0.789
VOC2010~2012之后会对每个Recall都计算一下$P_{interp}$,然后相乘相加，道理是一样的。

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三,mAP

mAP(mean average precision)
同样的道理，我们可以算出狗分类的AP和鸡分类的AP，三个AP求平均就是mAP

四,COCO的AP和mAP

在COCO中，参见COCO的说明

coco的AP和mAP是一个概念，都是跨类别的求平均，非但如此，上图中coco的primary challenge metric（主要评价指标）AP还使用了不同的10个IOU得到的结果进行了平均，IOU取值范围0.5到0.95，取值间隔0.05. 所以无需纠结到底是AP还是mAP，最终还是要看具体的实现是怎样。

红框中coco官方也明确说明了纠结AP还是mAP没有意义.

五,代码解析

还是以https://github.com/rbgirshick/py-faster-rcnn/blob/master/lib/datasets/voc_eval.py为例

def voc_ap(rec, prec, use_07_metric=False):
    """ ap = voc_ap(rec, prec, [use_07_metric])
    Compute VOC AP given precision and recall.
    If use_07_metric is true, uses the
    VOC 07 11 point method (default:False).
    """
    if use_07_metric:
        # 11 point metric
        ap = 0.
        for t in np.arange(0., 1.1, 0.1):
            if np.sum(rec >= t) == 0:
                p = 0
            else:
                p = np.max(prec[rec >= t])
            ap = ap + p / 11.
    else:
        # correct AP calculation
        # first append sentinel values at the end
        mrec = np.concatenate(([0.], rec, [1.]))
        mpre = np.concatenate(([0.], prec, [0.]))

        # compute the precision envelope
        for i in range(mpre.size - 1, 0, -1):
            mpre[i - 1] = np.maximum(mpre[i - 1], mpre[i])

        # to calculate area under PR curve, look for points
        # where X axis (recall) changes value
        i = np.where(mrec[1:] != mrec[:-1])[0]

        # and sum (\Delta recall) * prec
        ap = np.sum((mrec[i + 1] - mrec[i]) * mpre[i + 1])
    return ap

我们可以看到,如果评价指标是VOC2007的话就用11点进行计算,如果不是就按照上述近似的方法求$P_{interp}$,然后计算.

六,ROC曲线

ROC是Receiver Operating Characteristic的缩写，中文名字：受试者工作特征曲线
明白了AP曲线ROC曲线也类似，不过需要计算的不是Precision和Recall两个指标，而是TPR和FPR两个指标，FPR TPR实际就是Recall，和PR曲线中的Recall一致。（感谢评论指正）

TPR，True Positive Rate：
真阳率：预测为真，并且预测正确的样本占所有真样本的比例
$$TPR=\frac{TP}{TP+FN}$$
FPR，False Positive Rate：
假阳率：预测为真，但是预测错误的样本占所有非真样本的比例
$$FPR=\frac{FP}{FP+TN}$$
其中关键是理解TN，也就是True Negative是什么。
在这个问题中，FP+TN和TN是等价的，就是所有鸡和狗的GT数量。
原因其实很简单，就是这个FPR的公式是针对二分类问题来讲的，猫狗二分类问题中对猫类来说：FP必然是狗类的TP，所以FP+TN必然等于狗类的GT之和。 但对检测问题就未必了，例如猫狗鸡的识别问题中，识别猫的FP有可能是把一个空地里的杂物识别成了猫，所以无法落到真实负样本中去，但是我们知道狗和鸡一共有多少负样本，所以这边FP+TN就是所有负样本，也就是GT中的8只狗+7只鸡=15。所以对于一个检测问题来说FPR指标的意义确实存在一定的问题。这也是为什么一般我们在检测问题中不使用ROC曲线作为指标。

我们可以统计出不同置信度阈值下狗和鸡识别正确的数量，统计加入下图

我们用FPR作为横轴，TPR作为纵轴，画图：

这就是识别猫在IOU=0.5下的ROC曲线。

为什么这边ROC曲线不过（0，0）点和（1，1）？
对于分类问题的ROC曲线来说，还是以猫狗二分类问题为例，设猫类是正样本，如果全部识别为猫，TPR和FPR都等于1，所以会过（1，1），如果都是别为狗，那TP和FP都是0，所以TPR和FPR都等于0，所以会过（0，0）。但是对于检测问题来说，识别狗识别猫识别鸡不是互斥的问题，我无法保证GT都能被识别出来（无论对错），也无法保证识别出来的检测框和GT对应，所以有可能不过00和11点。

七,$AU{C}_{ROC}$

就是ROC曲线下的面积，和AP类似，ImageNet使用的是AUC指标，因为它是一个分类问题。AUC不是ROC曲线的专有名词，PR曲线也有AUC，只不过一般都称作AP或mAP了
$AU{C}_{ROC}$对正负样本都关心，AP或$AU{C}_{PR}$只关心正样本。

八,题外话

一个GT只能有一个Positive的检测框，例如当IOU低于0.5的时候，NMS算法有可能无法过滤掉同一个GT的多个检测结果，此时以置信度最高的一个为正样本，其他为负样本。

例如：

只能把这两个检测框置信度较高或者IOU较高的一个作为正样本，另一个记为负样本。