强化学习：策略梯度法

策略梯度法的思路

  之前我们是用表格的形式来表达策略，现在我们同样可以用函数来表达策略。之前学的所有的方法都是被称为 value-based，接来下学的叫 policy-based 。接下来我们来看一下 策略梯度法的思路。之前学的的策略全都是用表格来表示的，如下：

  现在，我们把表格改成函数，那么 $\pi$ 的写法也会发生改变，如下：

其中，$\theta$ 是一个向量可以用来表示 $\pi$ 这个函数里边的参数。

  用表格与函数表示不同之处还在于获取一个 action 的概率。 表格形式直接通过索引查表，而用函数会稍微麻烦一点，不能直接去索引了，需要计算对应的 $\pi (a|s,\theta )$

  用表格与函数表示不同之处还在于更新策略的方式。表格中直接通过修改表格中的值就可以了。当用参数化函数表示时，策略 $\pi$ 只能通过修改参数 $\theta$ 去更新策略。

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策略梯度法的思路：
  用函数表示时，我们会建立某些标量的目标函数 $J(\theta )$，通过优化目标函数使得策略 $\pi$ 达到最优，如下：

标量的目标函数的选取

  上面我们知道要建立一个标量的目标函数，那么这个标量的目标函数是什么呢？通常，我们常用两大类标量的目标函数。

  第一个是状态值平均值，或者简单地称为平均值，其实就是 state value 的一 个加权平均，如下：

$\bar{v}$ 是 state value 的加权平均
$d(s)$ 代表了状态 $s$ 被选中的概率

以上的形式我们还可以写成一种更简洁形式，就是两个向量的内积：

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  那么，我们怎么去选择 $d(s)$ 呢？我们分两种情况 ，一是 $d$ 和 $\pi$ 没有关系；而是 $d$ 和 $\pi$ 有关系。

  当 $d$ 和 $\pi$ 没有关系时，我们分别用 $d_0$ 和 ${\bar{\pi }}_0$ 表示，同样的我们可以采取均匀分布 $d_0(s)=1/|S|=1/n$ ，如果某一状态比较重要，那么我们可以将其权重提高。

  当 $d$ 和 $\pi$ 有关系时，常用的方法选择平稳分布，如下：

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  第二个是即时奖励平均值 ，就是即时奖励的一 个加权平均，如下：

上面是 reward 的第一种形式，我们经常会看到 reward 的另外一种形式，如下：

其中，我们假设遵循给定的策略并生成一个轨迹，得到一系列的奖励 $(R_{t+1},R_{t+2},\dots \dots )$ ；在跑了无穷多步之后, $s_0$ 已经不重要了，所以最后把 $s_0$ 去掉了
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  上面我们介绍了两种标量的目标函数的选取方式，接下来我们对这两个标量做进行进一步的总结:
  1、他们都是策略 $\pi$ 的函数
  2、策略 $\pi$ 是一个函数的形式，它的参数是 $\theta$ ，不同的 $\theta$ 会得到不同的值
  3、可以通过找到最优的 $\theta$ 去最大化标量的值
   4、${\bar{r}}_{\pi }$ 与 ${\bar{v}}_{\pi }$ 是等价的，对其中一个做优化的时候另外也进行了优化。在折扣系数 $\gamma <1$ 是，有 ${\bar{r}}_{\pi }=(1-\gamma ){\bar{v}}_{\pi }$

策略梯度求解

   得到一个策略标量后，计算出其梯度。然后，应用基于梯度的方法进行优化，其中，梯度计算是最复杂部分之一。那是因为，首先，我们需要区分不同的 ${\bar{v}}_{\pi }$ ，${\bar{r}}_{\pi }$ ，${\bar{v}}_{\pi }^0$ ；其次，我们需要区分折扣和未折扣。梯度的计算，这里我们就做比较简要的介绍。

$J(\theta )$ 可以是 ${\bar{v}}_{\pi }$ ，${\bar{r}}_{\pi }$ ，${\bar{v}}_{\pi }^0$ ；
$\eta$ 是分布概率或权重
"=” 可以表示严格相等、近似或与成正比

${\bar{v}}_{\pi }$ ，${\bar{r}}_{\pi }$ ，${\bar{v}}_{\pi }^0$ 相应的梯度公式如下：

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梯度公式分析：
   上面的式子我们可以写成如下形式：

$S服从\eta 分布$ ；$A服从\pi (A|S,\theta )分布$

为什么我们需要这样一个式子呢?这是因为真实的梯度含有期望 $E$ ，而期望 $E$ 是不知道的，所以我们可以通过采样来近似来做优化，如下：

补充说明：
   因为要计算 $ln\pi (a|s,\theta )$，所以要求 $\pi (a|s,\theta )>0$ ，怎么确保所有的 $\pi$ 对所有的 $a$ 全都是大于0呢？使用 softmax function 进行归一化，如下：

那么，$\pi$ 的表达形式如下：

$h(s,a,\theta )$ 是另一个函数，通常由神经网络得到。

梯度上升和REINFORCE

   梯度上升算法的基本思路是，真实的梯度有期望 $E$ ，所以用随机的梯度来代替真实梯度，但还有一个 $q_{\pi }(s,a)$ 即策略 $\pi$ 所对应的真实的 action value 是不知道的，同样的我们用一个方法来近似或者对 $q_{\pi }$ 进行采样，方法是与MC结合——reinforce ，如下：

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我们是用随机的梯度来代替真实梯度，那么我们怎么对随机变量 $(S,A)$ 采样呢？首先对 $S$ 采样，因为$S服从\eta 分布$ 它要求大量的数据，在现实中等难以达到平稳的状态，所以在实际当中一般是不太考虑的。那怎么对 $A$ 采样呢？因为 $A服从\pi (A|S,\theta )分布$ ，因此，在 $s_t$ 应该根据策略 $\pi (\theta )$ 对 $a_t$ 进行取样。所有这里的策略梯度属于 on-policy 算法。

算法理解

要求 $\alpha {\beta }_t$ 较小，可以发现 ${\beta }_t$ 能够平衡算法发 探索 和 数据利用。因为 ${\beta }_t$ 与 $q_t(s_t,a_t)$ 成正比，因此，当 $q_t(s_t,a_t)$ 较大时 ${\beta }_t$ 也会比较大，意味着 ${\pi }_t(s_t,a_t)$ 有较大的概率被选择。${\beta }_t$ 与 $\pi (a_t|s_t,{\theta }_t)$ 成反比，因此，当 ${\beta }_t$ 较大时 $\pi (a_t|s_t,{\theta }_t)$ 会比较小，意味着如果之前我选择${\pi }_t(s_t,a_t)$ 的概率是比较小的，下一时刻给它更大的概率去选择它。

当 ${\beta }_t>0$ 时，这是 $\pi (a_t|s_t,\theta )$ 梯度上升算法，有：

当 ${\beta }_t<0$ 时，这是 $\pi (a_t|s_t,\theta )$ 梯度下降算法，有：

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reinforce 算法

   用 $q_t(s_t,a_t)$ 去近似代替 $q_{\pi }(s_t,a_t)$ ， $q_t(s_t,a_t)$ 是用蒙特卡洛的方法求得，即就是从 $(s_t,a_t)$ 出发得到一个 episode ,然后把这个episode 的 return 赋给 $q_t$，这种就是 reinforce 算法。

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reinforce 算法，其伪代码如下：

在进行第 $k$ 次迭代时，先选定一个初始的 $state$ 根据当前的策略 $\pi ({\theta }_k)$ 和环境进行交互就得到一个 episode ，针对这个episode 当中的每一个元素我们要过一遍。然后对每一个元素进行操作，分为两步。第一步是做 value update，就是用蒙特卡洛的方法去估计 $q_t$ ，从 $(s_t,a_t)$ 出发把后边所得到的所有的 reward 相加。接下来就是 policy update ，将得到的 $q_t$ 代到公式里去更新 ${\theta }_t$ ，最后把最后所得到的 ${\theta }_T$ 作为一个新的 ${\theta }_k$ 进行迭代更新。