前言
在统计学中，众数是一种重要的集中趋势指标，它表示一组数据中出现次数最多的那个值。此外在一个集合中，如果一个元素的出现次数比其他所有元素的出现次数之和还多，那么就称它为这个集合的绝对众数（等价地说，绝对众数的出现次数大于总元素数的一半）。例如，在{1,2,3,3,4}这组数据中，3就是众数，因为它出现了两次，而其他值都只出现了一次，但是没有绝对众数。
寻找众数可以帮助我们了解数据的主要特征和分布情况，在某些场合下也可以作为数据代表或近似值。例如，
- 在民意调查中，我们可能会关注哪个候选人得到了最多人的支持；
- 在商品评价中，我们可能会关注哪种评分占据了大多数；
- 在图像处理中，我们可能会关注哪种颜色或灰度值出现频率最高。
寻找众数有不同的方法和算法，在本文中我们将介绍两种常见的方法：暴力法和摩尔投票法。
- 暴力法是通过遍历或哈希统计每个元素出现的次数，然后找出最大值对应的元素。这种方法简单直观，但需要额外的空间存储每个元素及其次数，时间或空间复杂度较高。
- 摩尔投票法是通过维护一个候选元素和一个计数器，遍历数组时更新候选元素和计数器，最后检验候选元素是否为众数。这种方法巧妙地利用了数组中存在一个占比超过一半（或其他阈值）的元素这一条件，并且不需要额外空间，并且时间复杂度较低，但是这种算法不能求一般上的众数，能够求绝对众数。
本文将分别介绍暴力法和摩尔投票法的原理、实现、拓展、局限等方面，并给出 LeetCode上相关题目及解答。
一、暴力法
暴力法是一种简单直观的寻找众数的方法，它的基本思路是遍历数组中的每个元素，统计该元素出现的次数，然后找出最大值对应的元素。这种方法可以用两种方式实现：一种是嵌套循环，另一种是哈希表。
1.1 嵌套循环
嵌套循环的方法是在外层循环中遍历数组中的每个元素，在内层循环中统计该元素出现的次数，并与当前最大值进行比较。如果该元素出现次数超过当前最大值，则更新最大值和众数。这种方法不需要额外空间，但时间复杂度较高，为O(n^2)。
以下是 Java 代码示例：
// 嵌套循环方法
public static int majorityElement1(int[] nums) {
// 初始化最大值和众数
int maxCount = 0;
Integer majority = null;
// 外层循环遍历数组
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
// 初始化当前元素出现次数为0
int count = 0;
// 内层循环统计当前元素出现次数
for (int j = 0; j < nums.length; j++) {
if (nums[j] == nums[i]) {
count++;
}
}
// 如果当前元素出现次数超过最大值，则更新最大值和众数
if (count > maxCount) {
maxCount = count;
majority = nums[i];
}
}
return majority;
}
1.2 哈希表
哈希表（或字典）的方法是利用一个数据结构来存储每个元素及其出现次数。遍历数组时，如果该元素在哈希表中不存在，则将其加入并初始化其次数为1；如果存在，则将其次数加1。同时维护一个最大值和一个众数，在更新哈希表时也更新它们。这种方法需要额外空间O(n)，但时间复杂度较低，为O(n)。
以下是 Java 代码示例：
// 哈希表方法
public static int majorityElement2(int[] nums) {
// 初始化哈希表、最大值和众数
HashMap<Integer, Integer> counter = new HashMap<>();
int maxCount = 0;
Integer majority = null;
// 遍历数组
for (int num : nums) {
// 如果该元素在哈希表中不存在，则将其加入并初始化其次数为1；如果存在，则将其次数加1。
counter.put(num, counter.getOrDefault(num, 0) + 1);
// 如果该元素出现次数超过最大值，则更新最大值和众数。
if (counter.get(num) > maxCount) {
maxCount = counter.get(num);
majority = num;
}
}
return majority;
}
二、摩尔投票法
2.1 原理
摩尔投票法（Boyer-Moore Majority Vote Algorithm）是一种高效且节省空间的寻找绝对众数的方法，它由 Robert S. Boyer 和 J Strother Moore 在1981年提出。
摩尔投票法的过程非常简单，让我们把找到绝对众数的过程想象成一次选举。我们维护一个m，表示当前的候选人，然后维护一个cnt。对于每一张新的选票，如果它投给了当前的候选人，就把cnt加1，否则就把cnt减1（也许你可以想象成，B的一个狂热支持者去把A的一个支持者揍了一顿，然后两个人都没法投票）。特别地，计票时如果cnt=0，我们可以认为目前谁都没有优势，所以新的选票投给谁，谁就成为新的候选人。
例如，5张选票分别投给1,3,3,2,3，则：
| 选票 | 候选人 | 计数cnt |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 3 | 3 | 0 |
| 3 | 3 | 1 |
| 2 | 2 | 0 |
| 3 | 3 | 1 |
最后剩下的候选人就是3，也就是绝对众数。
摩尔投票法的时间复杂度是O(n)，因为只需要遍历一次数组。空间复杂度是O(1)，因为只需要两个变量来记录候选人和计数。
2.2 扩展
摩尔投票法可以扩展到寻找出现次数超过 n/k 的元素( n 为元素个数)。
- 首先，n/k 的众数最多只有 k-1 个，因为众数的定义是指出现的次数大于 n/k ，如果众数有k个那么众数的所有元素加起来肯定是大于n 的，不符。因此，我们可以用一个哈希表来记录 k-1 个候选人和它们对应的计数。
- 对于每一个新元素
- 如果它已经在哈希表中，则增加其计数；
- 如果它不在哈希表中，并且哈希表还没有满，则将其加入哈希表并初始化计数为 1 ；
- 如果它不在哈希表中，并且哈希表已经满，则将所有候选人的计数减 1 ，并删除那些计数为0的候选人。
- 最后剩下的候选人就是可能超过 n/k 次出现的元素，但还需要再遍历一次数组来验证它们是否真的满足条件。
Java 示例代码如下：
// 输入：数组arr，整数k
// 输出：一个列表，包含所有出现次数超过n/k的元素
public List<Integer> mooreVoting(int[] arr, int k) {
// 初始化一个哈希表，用来存储候选人和计数
HashMap<Integer, Integer> candidates = new HashMap<>();
// 遍历数组中的每个元素
for (int x : arr) {
// 如果x已经是候选人，则增加其计数
if (candidates.containsKey(x)) {
candidates.put(x, candidates.get(x) + 1);
}
// 如果x不是候选人，并且候选人还没有满k-1个，则将x加入候选人并初始化计数为1
else if (candidates.size() < k - 1) {
candidates.put(x, 1);
}
// 如果x不是候选人，并且候选人已经满了k-1个，则将所有候选人的计数减1，并删除那些计数为0的候选人
else {
for (Integer y : new ArrayList<>(candidates.keySet())) {
candidates.put(y, candidates.get(y) - 1);
if (candidates.get(y) == 0) {
candidates.remove(y);
}
}
}
}
// 初始化一个列表，用来存储最终结果
List<Integer> result = new ArrayList<>();
// 遍历剩下的候选人，验证它们是否真的超过n/k次出现
for (Integer x : candidates.keySet()) {
int count = 0;
for (int y : arr) {
if (x == y) {
count++;
}
}
if (count > arr.length / k) {
result.add(x);
}
}
// 返回结果列表
return result;
}
2.3 缺点和局限
- 摩尔投票法只能找到出现次数超过一定比例的元素，而不能找到出现次数最多的元素。如果没有一个元素满足这个比例条件，那么摩尔投票法可能返回空列表或错误的元素。例如在{1,1,2,3}这组数据中，出现次数最多的元素是1，摩尔投票法只能找到比例大于1/2的数，而不能找到比例 <=1/2 的数。
- 摩尔投票法的另一个局限性是，它需要有一个明确的占比阈值来确定候选人的数量。如果没有这个阈值，或者这个阈值不合理，那么摩尔投票法可能无法找到正确的结果。
三、LeetCode实战
3.1 多数元素
给定一个大小为
n的数组nums，返回其中的多数元素。多数元素是指在数组中出现次数 大于⌊ n/2 ⌋的元素。你可以假设数组是非空的，并且给定的数组总是存在多数元素。
public int majorityElement(int[] nums) {
int m = nums[0], cnt = 1; // 初始化候选元素m和计数器cnt
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
// 遍历数组中的每个元素
if (cnt == 0) m = nums[i]; // 如果计数器为零，更新候选元素为当前元素
if (nums[i] == m) {
// 如果当前元素等于候选元素
cnt++; // 增加计数器
} else {
// 否则
cnt--; // 减少计数器
}
}
return m; // 返回最终的候选元素，它就是多数元素
}
3.2 多数元素 II
给定一个大小为 n 的整数数组，找出其中所有出现超过
⌊ n/3 ⌋次的元素。
public List<Integer> majorityElement(int[] nums) {
// 初始化一个哈希表，用来存储候选人和计数
HashMap<Integer, Integer> candidates = new HashMap<>();
int k = 3;
// 遍历数组中的每个元素
for (int x : nums) {
// 如果x已经是候选人，则增加其计数
if (candidates.containsKey(x)) {
candidates.put(x, candidates.get(x) + 1);
}
// 如果x不是候选人，并且候选人还没有满k-1个，则将x加入候选人并初始化计数为1
else if (candidates.size() < k - 1) {
candidates.put(x, 1);
}
// 如果x不是候选人，并且候选人已经满了k-1个，则将所有候选人的计数减1，并删除那些计数为0的候选人
else {
for (Integer y : new ArrayList<>(candidates.keySet())) {
candidates.put(y, candidates.get(y) - 1);
if (candidates.get(y) == 0) {
candidates.remove(y);
}
}
}
}
// 初始化一个列表，用来存储最终结果
List<Integer> result = new ArrayList<>();
// 遍历剩下的候选人，验证它们是否真的超过n/k次出现
for (Integer x : candidates.keySet()) {
int count = 0;
for (int y : nums) {
if (x == y) {
count++;
}
}
if (count > nums.length / k) {
result.add(x);
}
}
// 返回结果列表
return result;
}