注明：本文中的xy表示x的y次方
一、费马小定理
若p为素数，a为正整数，且gcd(a,p)=1,则ap−1≡1(mod p)。
1.2 证明
因为p为素数，所以gcd(i,p)=1(1<=i<=p-1,i为整数），可推出 ①gcd((p-i)!,p)=1，又因为gcd(a,p)=1，所以gcd(i∗a,p)=1，则 ②没有一个i*a是p的倍数。
设a=b*p+r，则gcd(i*r,p)=1，没有一个i*r是p的倍数。
假设有两个i*r同余于模p，则c*r≡d*r(mod p)(c<d)，那么(d-c)*r≡0(mod p)，即p|(d−c)∗r。由于1<=d−c<=p−1，这与没有一个i*r是p的倍数矛盾。所以i*r中没有任何两个同余与模p得证，即 ③i*a中没有任何两个同余与模p。
证明了①②③，我们就可以证明费马小定理了：
由于②③，我们可以得知i*a%p之后一定是1,2,3,…,p-1的一个排列，也就是：
a∗2a∗3a∗…∗(p−1)a≡1∗2∗3∗…∗(p−1)(mod p)，即：
(p−1)!∗a p−1≡(p−1)!(mod p)
因为①，所以可以同除以(p-1)!，得 ap−1≡1(mod p)，费马小定理得证。
二、MR素数判断（优点：速度快 缺点：准确性低）
2.1 方法Miller-Rabin素数测试（简称MR素数测试）利用费马小定理快速判断一个数是否是素数，但是由于这种方法只是较高概率不出现错误，并不是完全正确的，所以在时间充裕的情况下可不必使用这个方法。
2.2 实现
因为当n是素数，且gcd(a,n)=1时，a n−1≡1(mod n)，所以我们可以随机几个a，增加算法的准确性，然后判断a n−1≡1(mod n)成不成立。由于n不是素数时a n−1≡1(mod n)几乎不成立，所以如果多个a测试过后，a n−1≡1(mod n)均成立，就认为n是素数了。但是还有这么一种合数，对于任意p为素数，gcd(a,p)=1,则a p−1≡1(mod p)都成立。这种数叫做卡迈克尔数。当然，这种数是很少的，在1~100000000范围内的整数中，只有255个卡迈克尔数。当碰到卡迈克尔数时，MR素数判断就毫无用武之地了。所以，在时间充裕的情况下，最好还是使用 线性筛。
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