线性筛法（一）--素数筛法（二）

• 换一种筛子

换一种筛子

上一篇我们讲到用素数的倍数一定不是素数这一个方法来构建筛子。不清楚的童鞋可以再看看。

但是这种方法还是有问题：比如筛30时，在 i=2 的时候， k = 2 * 15 筛了一次；在 i=5， k = 5 * 6 的时候又筛了一次。

今天我们换一种思路，并添加一个优化，从而解决这个问题，还是求1-n的素数。
核心思想：所有的合数可以表示为两个或多个素数的积。（实际上也相当于合数为素数乘一个比它小的合数-。-）

实现：我们遍历每个数，把它与之前找到的素数相乘，把相乘的结果标记为合数。
------实际上是把上一篇的“某个素数乘以每个数”改为了“每个数乘以某个素数”，但是由于我们做了一点优化，使前面提到的重复情况去除，所以算法得到了改进。

1，初始化（a数组标记，queue数组存素数与素数乘积）
|a|0|1|2|3|4|5|6|7|
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
|-|0|0|0|0|0|0|0|0|

queue	0	1	2	3	4	5	6	7
-	0	0	0	0	0	0	0	0

2，我们先找到2，存入数组queue；
|a|0|1|2|3|4|5|6|7|
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
|-|0|0|0|0|0|0|0|0|

queue	0	1	2	3	4	5	6	7
-	2	0	0	0	0	0	0	0

3，进行素数相乘 2x2，标记 4；
|a|0|1|2|3|4|5|6|7|
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
|-|0|0|0|0|1|0|0|0|

queue	0	1	2	3	4	5	6	7
-	2	0	0	0	0	0	0	0

4，找到3，并对3进行操作。。。；
|a|0|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
|-|0|0|0|0|1|0|1|0|0|1|0|

queue	0	1	2	3	4	5	6	7
-	2	3	0	0	0	0	0	0

5，找到4，但不放入queue，并对 4 处理
|a|0|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11|12|
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
|-|0|0|0|0|1|0|1|0|1|1|0|0|1|

queue	0	1	2	3	4	5	6	7
-	2	3	0	0	0	0	0	0

6，如此操作。。。

我们来看看程序：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
using namespace std;
const int N = 100001;

int main()
{
    int n;
    int a[N];
    int queue[N];
    while(scanf("%d",&n) == 1)
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(queue,0,sizeof(queue));
        int tail = 0;
        for(int i = 2; i < n; i++)
        {
            if(a[i] == 0)
                queue[tail++] = i;
            for(int j = 0; j < tail && i * queue[j] < N; j++)
            {
                a[i * queue[j]] = 1;
                if(!(i % queue[j]))//这是一个优化，去除15*2，6*5的重复
                    break;
            }
        }
        printf("2");
        for(int i = 3; i < n; i++)
        {
            if(a[i] == 0)
                printf(" %d",a[i]);
        }
    }
    return 0;
}

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