由于 2 π 是正弦函数 y = sin x , x ∈ R 的周期， 由于2\pi是正弦函数y=\sin x,x\in R的周期， 由于2π是正弦函数y=sinx,x∈R的周期， 下面只需证明任一小于 2 π 的正数都不是那个函数的周期。 下面只需证明任一小于2\pi的正数都不是那个函数的周期。 下面只需证明任一小于2π的正数都不是那个函数的周期。
反证法： 反证法： 反证法：
设 T 是 y = sin x , x ∈ R 的最小正周期，且 0 < T < 2 π . 那么，依照周期函数的定义，当 x 为任意值时都有 s i n ( x + T ) = s i n x 令 x = π / 2 ，代入上式得 : s i n ( π / 2 + T ) = s i n ( π / 2 ) = 1 , 即 c o s T = 1 , 这与 T ∈ ( 0 , 2 π ) 时， c o s T < 1 矛盾 , 因此假设不成立。 因此最小正周期是 2 π . 设 T 是y=\sin x,x\in R的最小正周期，且0<T<2π.\\那么，依照周期函数的定义， 当 x 为任意值时都有sin(x+T) = sin x\\令x=π/2，代入上式得:\\sin(π/2+T) = sin(π/2) = 1,\\即cos T = 1,\\这与T∈(0,2π) 时，cos T < 1 矛盾, 因此假设不成立。\\因此最小正周期是2\pi. 设T是y=sinx,x∈R的最小正周期，且0<T<2π.那么，依照周期函数的定义，当x为任意值时都有sin(x+T)=sinx令x=π/2，代入上式得:sin(π/2+T)=sin(π/2)=1,即cosT=1,这与T∈(0,2π)时，cosT<1矛盾,因此假设不成立。因此最小正周期是2π.
对于函数 y = A s i n ( ω x + φ ) + k ， 对于函数y=Asin(ωx+φ)+k， 对于函数y=Asin(ωx+φ)+k， 其中 A , ω , φ , k 都是常数，我们可以通过以下步骤推导出它的最小正周期。 其中A,ω,φ,k都是常数，我们可以通过以下步骤推导出它的最小正周期。 其中A,ω,φ,k都是常数，我们可以通过以下步骤推导出它的最小正周期。
设 x 0 、 x 1 ∈ R ， 有 s i n ( x 0 + 2 π ) = s i n ( x 0 ) 、 ω x 1 + φ = x 0 ， 则 s i n ( ω x 1 + φ ) = s i n ( x 0 ) 、 s i n [ ω ( x 1 + T ) + φ ] = s i n ( x 0 + 2 π ) 所以 ω T = 2 π 设x_{0}、x_{1}\in R，\\有sin(x_{0}+2\pi) = sin (x_{0})、ωx_{1}+φ=x_{0}，\\则sin(ωx_{1}+φ)=sin (x_{0})、sin[ω(x_{1}+T)+φ]=sin(x_{0}+2\pi)\\所以ωT=2\pi 设x0、x1∈R，有sin(x0+2π)=sin(x0)、ωx1+φ=x0，则sin(ωx1+φ)=sin(x0)、sin[ω(x1+T)+φ]=sin(x0+2π)所以ωT=2π
或者 s i n x 满足 f ( x + T 0 ) = − f ( x ) ， 或者sin x满足f(x+T_{0}) =- f (x)， 或者sinx满足f(x+T0)=−f(x)， 即 s i n ( x + T 0 ) = − s i n x 所以 s i n ( x + 2 T 0 ) = − s i n ( x + T 0 ) ，因此 s i n ( x + 2 T 0 ) = s i n x 因为 s i n ( x + π ) = − s i n x ，则最小正周期是 2 π 即sin(x+T_{0}) =- sin x\\所以sin(x+2T_{0}) =-sin(x+T_{0}) ，因此sin(x+2T_{0}) =sin x\\因为sin(x+π) =- sin x，则最小正周期是2\pi 即sin(x+T0)=−sinx所以sin(x+2T0)=−sin(x+T0)，因此sin(x+2T0)=sinx因为sin(x+π)=−sinx，则最小正周期是2π
同理：设 x 0 、 x 1 ∈ R ， 有 s i n ( x 0 + π ) = − s i n ( x 0 ) 、 ω x 1 + φ = x 0 ， 即 s i n ( ω x 1 + φ + π ) = − s i n ( ω x 1 + φ ) s i n [ ( ω x 1 + φ ) + π + π ] = − s i n ( ω x 1 + φ + π ) 同理：设x_{0}、x_{1}\in R，\\有sin(x_{0}+\pi) = -sin (x_{0})、ωx_{1}+φ=x_{0}，\\即sin(ωx_{1}+φ+\pi)=-sin(ωx_{1}+φ)\\sin[(ωx_{1}+φ)+\pi+\pi]=-sin(ωx_{1}+φ+\pi) 同理：设x0、x1∈R，有sin(x0+π)=−sin(x0)、ωx1+φ=x0，即sin(ωx1+φ+π)=−sin(ωx1+φ)sin[(ωx1+φ)+π+π]=−sin(ωx1+φ+π)
s i n [ ω ( x + t ) + φ ] = − s i n ( ω x + φ ) s i n [ ω ( x + 2 t ) + φ ] = − s i n [ ω ( x + t ) + φ ] sin[ω(x+t)+φ]=-sin(ωx+φ)\\sin[ω(x+2t)+φ]=-sin[ω(x+t)+φ] sin[ω(x+t)+φ]=−sin(ωx+φ)sin[ω(x+2t)+φ]=−sin[ω(x+t)+φ]
而 s i n [ ω ( x + 2 t ) + φ ] = s i n [ ( ω x + φ ) + 2 t ω ] ，则 2 t ω = 2 π 而sin[ω(x+2t)+φ]=sin[(ωx+φ)+2tω]，则2tω=2\pi 而sin[ω(x+2t)+φ]=sin[(ωx+φ)+2tω]，则2tω=2π