一、基本概念
图是一个二元组G=(V,E）。V是非空有穷的顶点集合。E是图G中边的集合。
有向图：图中的每条边都有方向（即带有箭头）。
无向图：图中的每条边都没有方向。
有向边：用尖括号来表示为<a,b>。a是始点，b是终点。也被称为弧，a是弧尾，b是弧头。
无向边：用圆括号表示为(a,b)。
完全图：任意两个顶点之间都有边的图（有向图或无向图）。
n个顶点的无向完全图有n*(n-1)/2条边；n个顶点的有向完全图有n*(n-1)条边。
顶点的度：与这个顶点邻接的边条数。
对于有向图还有入度和出度的概念。
入度：以此顶点为终点的边的数目。
出度：以此顶点为始点的边的数目。
路径：两顶点之间所存在的通路。
路径的长度：该路径上边的条数。
回路（环）：起点和终点相同（重合）的路径。
简单路径：除了顶点和终点可能相同外，其他顶点均不相同的路径。
简单回路：一个回路内，起点和终点相同，但其他的顶点都不相同。也可理解为起点和终点相同的简单路径是简单回路。
简单回路是简单路径的一个子集。
连通：存在从顶点a到b的路径，则说明两顶点是连通的。
连通无向图：无向图中，任意两顶点之间都相互连通。
强连通有向图：有向图中任意两个顶点a、b，从a到b连通，并且从b到a也连通。（因为是有向边，所以从a到b，从b到a的 路径都要求存在）
子图：对于图G=(V,E)和G1=(V1,E1)，如果V1包含于V，并且E1包含于E，则称G1是G的一个子图。
连通子图：原图可能不是连通图，但其一些子图是连通的，则这些子图称为原图的连通子图。（对于有向图，则称为强连通 子图）
极大连通子图（连通分量）：G1是原图G的一个连通子图，G1的顶点和边集合都已经不能扩充，是极大的。（如果在增加 顶点，就会不连通，也没有其他的边可加）。如果G本身连通，则只有一个连通分量，就是G 本身。
极大强连通子图（强连通分量）：这是对于有向图来说的，与无向图中的定义类似。
图4 是强连通有向图，只有一个强连通分量（其自身）。
图2中包含两个强连通分量。顶点a总是与其自身连通，所以去本身就是一个强连通分量。
图3包含3个强连通分量。
图1中任意两个顶点都不是相互连通的，所以有3个强连通分量（3个顶点）。
带权图：图中的每条边都带有一个权值。
网络：带有权值的连通无向图。
二、用邻接矩阵及其实现的图类
邻接矩阵是表示图中顶点间邻接关系的方阵。如果图有n个顶点，那么邻接矩阵就是一个n*n的方阵。
最简单的邻接矩阵是以0/1为元素的方阵。定义如下：
对于带权图，其定义为：
1、以下是有向图的邻接矩阵的一个例子，右图是左图的邻接矩阵。
行中非零元素的个数对应于顶点i的出度；列中非零元素的个数对应于顶点i的入度。
2、以下是无向图的邻接矩阵的例子。可以看出，无向图的邻接矩阵是对称矩阵。
邻接矩阵的优点：便于计算出各个顶点的度，以及判断两个顶点间是否有边。
缺点：矩阵中的大部分元素只是为了说明某些边不存在，造成了空间的浪费。
class GraphError(ValueError):
pass
class Graph:
def __init__(self, mat, unconn = 0):
vnum = len(mat)
for x in mat:
if len(x) != vnum: #检查是否为方阵
raise ValueError('Argument for Graph')
self.mat = [mat[i][:] for i in range(vnum)]
self.unconn = unconn
self.vnum = vnum
def vertex_num(self):
return self.vnum
def invalid(self, v):
return 0 > v or v >= self.vnum
def add_edge(self, vi, vj, val=1):
if self.invalid(vi) or self.invalid(vj):
raise GraphError(str(vi) + 'or' + str(vj) + 'is not a valid vertex')
self.mat[vi][vj] = val
def get_edge(self, vi, vj):
if self.invalid(vi) or self.invalid(vj):
raise GraphError(str(vi) + 'or' + str(vj) + 'is not a valid vertex')
return self.mat[vi][vj]
#返回每个顶点的出边的终点位置，和这条出边上的权值
def out_edges(self, vi):
if self.invalid(vi):
raise GraphError(str(vi) + 'is not a valid vertex')
return self._out_edges(self.mat[vi], self.unconn)
@staticmethod
def _out_edges(row, unconn):
edges = []
for i in range(len(row)):
if row[i] != unconn: #当前行中不等于0的位置
edges.append((i, row[i]))
return edges
二、用邻接表及其实现的图类
邻接表就是为图中的每个顶点关联一个边表，其中记录这个顶点的所有邻边。
class GraphAL(Graph):
def __init__(self, mat1=[], unconn = 0):
vnum = len(mat1)
for x in mat1:
if len(x) != vnum:
raise ValueError('Argument for Graph')
self.mat = [Graph._out_edges(mat1[i], unconn) for i in range(vnum)]
self.unconn = unconn
self.vnum = vnum
def add_vertex(self):
self.mat.append([])
self.vnum += 1
return self.vnum - 1
def add_edge(self, vi, vj, val=1):
if self.vnum == 0:
raise GraphError('can not add edge to empty graph')
if self.invalid(vi) or self.invalid(vj):
raise GraphError(str(vi) + 'or' + str(vj) + 'is not a valid vertex')
row = self.mat[vi] #row是mat中的某一行。例如[(0,4),(2,6)]
i = 0
while i < len(row):
if row[i][0] == vj: #如果原来存在vi到vj的边，找出与终点vj相同的终点在第几个元组中
self.mat[vi][i] = (vj, val)
return
if row[i][0] > vj: #原来不存在vi到vj的边。因为边表中是按递增的顺序添加的，
break #假设vj=2，但是当前已经遍历到了(3,1)，说明没有终点为2的这条边
i += 1
self.mat[vi].insert(i,(vj, val))
def get_edge(self, vi, vj):
if self.invalid(vi) or self.invalid(vj):
raise GraphError(str(vi) + 'or' + str(vj) + 'is not a valid vertex')
for i, val in self.mat[vi]:
if i ==vj:
return val
return self.unconn
def out_edges(self, vi):
if self.invalid(vi):
raise GraphError(str(vi) + 'is not a valid vertex')
return self.mat[vi]
if __name__=="__main__":
mat = [[0,0,3],
[4,0,6],
[0,8,9]]
g = Graph(mat)
print(g.out_edges(1)) #[(0, 4), (2, 6)]
g1 = GraphAL(mat)
g1.add_edge(1,1,16)
print(g1.mat) #[[(2, 3)], [(0, 4), (1, 16), (2, 6)], [(1, 8), (2, 9)]]