微分方程

例：求一曲线方程，使其满足过点(1,2)，且其上任意一点处的切线斜率为其横坐标的2倍。

设曲线方程为y=f(x)，有\({dy\over dx}=2x\)，这样的方程与代数方程的不同在于包含了未知函数对自变量的导数，为一阶的微分方程。之所以为一阶微分方程是因为该方程的导数的最高阶数为一阶。由该式可得

dy=2xdx

两端积分，有

\(y=x^2+C\)

将(1,2)代入，可得

C=1

故该曲线方程为

\(y=x^2+1\)

其中\(y=x^2+C\)为微分方程\({dy\over dx}=2x\)的通解，\(y=x^2+1\)为特解。

微分方程定义和基本概念

\(F(x,y,y',...,y^{(n)})=0\)

包含了自变量各阶导数的方程称为微分方程。

基本概念

微分方程分为常微分方程和偏微分方程，之前的示例就为常微分方程，偏微分方程例如
1. \({∂^2u\over ∂x^2}+{∂^2u\over ∂y^2}=0\)
2. 的多元函数的方程。它们的区分主要是自变量的个数。
方程的阶数就是未知函数对自变量的导数的最高阶数。这里又把微分方程分为一阶微分方程和高阶微分方程。
从线性和非线性的角度，又可以把微分方程分为线性方程和非线性方程。
1. 线性方程的形式：
2. \(y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+a_2(x)y^{(n-2)}+...+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=f(x)\)
3. 非线性方程如：
4. \(y'+(y')^2=1\)
方程的解，y=φ(x),x∈I，代入到方程\(F(x,y,y',...,y^{(n)})=0\)中，使得两端成立，此时y=φ(x)就是方程的一个解。
1. 如果它的解当中含着任意个相互独立的常数C，那么这样的解就叫做方程的通解。通解的形式又可以分为显式解和隐式解。隐式解主要是例如\(lny=x^2+C\)，它不容易直接写出y和x的关系，它也是一种解。
2. 如果它的解当中不含任意个常数，那么这样的解就叫做方程的特解。求特解必须知道一定的已知条件，一般该条件叫做初值条件。

初等积分法

早期，人们致力于寻找一阶微分方程的通解，该时期称为微分方程发展的古典时期，在这一过程中，人们发现了一系列能用初等积分法求解的方程类型。这些方程有变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、全微分方程和某些一阶隐方程等。1841年Liouville证明了Riccati方程

\({dy\over dx}=P(x)y^2+Q(x)y+R(x)\)

不存在一般的初等解决法而中断。

分离变量法

形如

\({dy\over dx}=f(x,y)=g(x)h(y)\)

如果f(x,y)可以分解为关于x和关于y的两个函数g(x)和h(y)，且这两个函数都是定义在某个区间的连续函数，那么就称该方程为变量分离方程。

1）if ∃ \(y=y_0\) s.t. h(y)=0,则

\(y=y_0\)是方程的解

2） \(h(y)≠0\),上式可转化为

\({dy\over h(y)}=g(x)dx\)

两端积分

\(\int{dy\over h(y)}=\int{g(x)dx}\)

设h(y)的原函数为H(y)；g(x)的原函数为G(x)，则上式可转化为

H(y)=G(x)+C

这就是微分方程的隐式通解，如果我们能够求出y是x的显函数，则可以求出方程的显式通解。

示例一：\(y'=e^{x+y}\)

\(y'=e^{x+y}=e^x⋅e^y\)

这里\(e^{x+y}\)可以分离成关于x的函数\(e^x\)和关于y的函数\(e^y\)

显然\(e^y≠0\)，则有

\({dy\over e^y}=e^xdx\)

两端积分

\(\int{dy\over e^y}=\int{e^xdx}\)

得

\(-e^{-y}=e^x+C\)

这里的\(\int{dy\over e^y}=\int{e^{-y}dy}=-\int{e^{-y}d(-y)}=-e^{-y}+C\)

示例2：\({dy\over dx}=2x(1-y^2)^{1\over 2}\)

1)显然y=(+/-)1是方程的解。

2)当\(1-y^2≠0\)时，上式可转化为

\({dy\over \sqrt{1-y^2}}=2xdx\)

两端积分

\(\int{dy\over \sqrt{1-y^2}}=\int2xdx\)

得

\(arcsiny=x^2+C\) 隐式解 \(x^2+C ∈ (-{π\over 2},{π\over 2})\)

\(y=sin(x^2+C)\) 显式解

另y=(+/-)1也是方程的解

这里的\(\int{dy\over \sqrt{1-y^2}}\)，这里令y=sint，t=arcsiny，则\(\int{dy\over \sqrt{1-y^2}}=\int{costdt\over cost}=\int{dt}=arcsiny\)

微分方程整理

微分方程

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