数据结构复盘——第四章：数组和矩阵

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第一部分：矩阵

矩阵在线性代数中已经有过详细了解，在考研中矩阵部分常常考察数组下标 k 与 矩阵行 i 和列 j 的关系。
需要注意的是矩阵下标 i、j 通常是：$1到n$，而数组下标 k 通常是：$0到n^2-1$。

• k 与 i、j 的关系就是：$$k=n\ast (i-1)+j-1$$

第一部分习题

1. 数组A中，每个元素的长度为3个字节，行下标 i 从1到8，列下标 j 从1到10，从首地址SA开始连续存放的存储器内，该数组按行存放，元素 A[8][5] 的起始地址为（C）。
   A.SA+141
   B.SA+144
   C.SA+222（用公式可以求出$A_{85}$前面有74个元素，所以它的起始地址就是：$SA+74\ast 3$）
   D.SA+225
2. 设二维数组 A[1…m,1…n] 按行存储在数组B中，则二维数组元素 A[i,j] 在一维数组B中的下标为（A）。
   A.n*(i-1)+j（题目中没有强调数组B的下标从0开始，再结合其他选项只能选A）
   B.n*(i-1)-j-1（迷惑性选项，“- j”必然是错的）
   C.i*(j-1)
   D.i*m+i-1

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第二部分：对称矩阵

对称矩阵就是主对角线两侧的数据相同的方阵，对于这类矩阵我们通常可以节约空间，只存储上三角部分的数据或下三角部分的数据。

• 此时数组下标 k 与 矩阵行 i 和列 j 的关系通常满足（上三角转置后就是下三角了）：$$\begin{gathered} k_{下三角}=S_{i-1}+j-1 \\ {k}_{上三角}=S_{j-1}+i-1 \end{gathered}$$
• 在之前数组存储普通矩阵的表达式中$S_x=x\ast n$，n为矩阵的总列数；而这里因为存储的是上/下三角矩阵，所以结合等差数列求和公式有：$$S_x=\frac{x\ast (x+1)}{2}$$

需要注意的是，为了达到转置的效果，上三角矩阵需要按列存储到数组当中（转置时列会变为行）。结合上面的两个式子可以得出以下关系：

第二部分习题

1. 设有一个对称矩阵A，采用压缩存储方式，以行序为主序存储A11为第一个元素其存储地址为1，每个元素占一个地址空间，则A85地址为（B） 。
   A.23
   B.33 （前面的元素个数：k=8*(8-1)/2+5-1=32，地址为：1+k*1=33）
   C.18
   D.40

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第三部分：三角矩阵

三角矩阵分为下三角矩阵和上三角矩阵，需要和对称矩阵的上下三角矩阵区分。

• 下三角矩阵：下三角为权值，上三角全相同（例如全为0或1）
• 上三角矩阵：上三角为权值，下三角全相同（例如全为0或1）

此时数组除了需要存储上/下三角区域当中的权值，还需要增加一个位置，记录余下的相同数据（保存一份即可）。

• 下三角矩阵中元素对应的数组下标：$\{\begin{array}{ll}{k}_{权值区域}=\frac{i\ast (i-1)}{2}+j-1& （i\ge j）\\ & \\ k_{相同区域}=\frac{n\ast (n+1)}{2}& （i<j）\end{array}$
• 上三角矩阵中元素对应的数组下标：$\{\begin{array}{ll}{k}_{权值区域}=\frac{j\ast (j-1)}{2}+i-1& （i\le j）\\ & \\ k_{相同区域}=\frac{n\ast (n+1)}{2}& （i>j）\end{array}$

其中权值区域的最大下标为：$k_{nn}=\frac{n\ast (n-1)}{2}+n-1=\frac{n\ast (n+1)}{2}-1（i=j=n）$

第三部分习题

1. 若将 n 阶下三角矩阵 A 按列优先顺序压缩存放在一维数组 B[1…n(n+1)/2+1] 中,则存放到 B[k] 中的非零元素 aij（1<=i , j < =n）的下标 i、j 与 k 的对应关系是（B）。
   A.(j-1)(2n-j+1)/2+i-j
   B.(j-1)(2n-j+2)/2+i-j+1（题目中说了数组B下标从1开始，所以不需要减1）
   C.(j-1)(2n-j+2)/2+i-j
   D.(j-1)(2n-j+ 1)/2+i-j-1
   【分析】下三角按列优先顺序压缩与上三角按行优先顺序压缩一样，需要进行等差数列的反向求和，具体过程见下图：（图中为本题的下三角按列压缩，要求上三角按行压缩只需要进行转置——互换 i 和 j 位置）
   

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第四部分：三对角矩阵

三对角矩阵也可称为“爪型”矩阵、带状矩阵，它的特点就是当$|i-j|>1$时$A_{ij}=0$。

第四部分习题

1. 有一个100阶的三对角矩阵$M$，其元素$m_{ij}$（1<= i，j<=100）按行优先依次压缩存入下标从0开始的一维数组$N$中。元素$m_{30,30}$在N中的下标是（B）。
   A.86
   B.87（套公式：2*30+30-3=87）
   C.88
   D.89

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第五部分：稀疏矩阵

当矩阵中非零元素的个数远少于矩阵元素个数时，我们就将其称为稀疏矩阵。
稀疏矩阵—般的压缩存储方式有两种：三元组和十字链表。以下主要介绍三元组，十字链表在图的部分会介绍。

三元组看似是多此一举的把一个矩阵变成了另一个矩阵，但是当原矩阵维数非常大，但却是一个稀疏矩阵时，三元组可以非常有效的压缩数据，并且三元组本身也可以进一步压缩成一元数组。
需要注意的是，稀疏矩阵在压缩存储后便失去了随机存取的特性。

第五部分习题

1. 稀疏矩阵—般的压缩存储方式有两种，即（C）。
   A.二维数组和三维数组
   B.三元组和散列
   C.三元组和十字链表
   D.散列和十字链表

2. 有一个100×90的稀疏矩阵，非0元素有10个，设每个整型数占2个字节，将稀疏矩阵压缩到三元组表data中时，我们用 data[0].i，data[0].j，data[0].v 分别存放矩阵行数、列数和非零元个数，总共需要的字节数是（B）。
   A.20
   B.66（题目的描述存在陷阱，数组下标为0的地方存储了总行数、总列数、总非零元个数，一共消耗了6字节）
   C.18000
   D.33

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小结

矩阵部分主要包含了四类矩阵，考察点就是矩阵数据压缩到数组里时，不同矩阵元素对应的数组下标，分值占比不高。