三、直流电机

1、直流电机的工作原理

直流电机的构成：
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图1. 两极直流电机模型

$\omega t=\frac{\pi}{2}\quad b)\omega t=\frac{3\pi}{2}$

图1中，它的固定部分（定子）上，装有用于直流励磁的主磁极 N 和 S ，在旋转部分（转子）上装设有电枢。定子和转子之间有一气隙。电枢铁心上装有由 A 和 X 两根导线连接而成的电枢线圈，线圈首末端分布连接到两各圆弧形的铜片 $K_1$ 和 $K_2$ ，称为换向片。由换向片构成的整体称为换向器，换向器固定在转轴上。换向器上放置着一对静止不动的电刷 $B_1$ 和 $B_2$ ，电枢旋转时，电枢线圈通过换向片和电刷与外电路接通。

直流发电机工作原理 $\theta_s$ 为沿电枢表面周围的电角度。图2表示主磁极下气隙磁场的分布。
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图2. 主磁极所产生的气隙磁场

当发电机用原动机驱动而旋转时，电枢线圈的导体 A 和 X 将不断地“切割”气隙磁场，于是导体中产生感应电动势。设导体有效长度为 $l$ ，导体的线速度为 $v$ ，导体所在位置处的气隙磁通密度为 $b$ ，则导体内的感应电动势 $e$ 应为
$e=blv\tag{1}$

在图1a所示，若转子逆时针旋转，由右手定则，导体 A 内的感应电动势方向为 $\odot$ ；导体 X 内的感应电动势方向为 $\otimes$ ；整个线圈（从 X $\rightarrow$ A）的感应电动势 $e_{XA}=2blv$ 。若线速度 $v$ 为常值，则 $e_{XA}$ 将正比与 $b(\theta_s)$ ，如图3a所示。不难看出，导体和线圈中的电动势是交流电动势。
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图3. 线圈电动势和电刷间的电动势 a) 线圈电动势 b) 电刷间的电动势

但是，线圈电动势不是直接引出，而是通过换向器和电刷输出到外电路。虽然线圈内的电动势为交流电动势，但是由于电刷与换向片之间的“换接”作用，使得电刷 $B_1$ 恒与转到 $N$ 极下的导体相连接，电刷 $B_2$ 恒与转到 $S$ 极下的导体相连接，故电刷间的输出电动势却是直流电动势，如图3b所示。这就是直流发电机的工作原理。

直流电动机的工作原理 如果将直流电压直接加到线圈 AX 上，设导体中的电流为 $i$ ，载流导体在磁场中将受到电磁力 $f$ ， $f = bi l$ ，作用在线圈上的电磁转矩 $T_{XA}$ 则为2倍的电磁力乘上力臂，即
$T_{XA}=2f\frac{D_n}{2}=bilD_n\tag{2}$
式中， $D_n$ 为电枢外径。
若电流 $i$ 为恒定，转子旋转一周，气隙磁通密度 $b$ 的方向为一正一负，因此电磁转矩 $T_{XA}$ 是交变的，并且一个周期内平均值为0，无法使电枢持续旋转。然而在直流电动机中，电流并非直接接入线圈，而是通过电刷 $B_1$ 、 $B_2$ 和换向器再接入线圈，导体中的电流将随其所处磁极极性的改变而同时改变其方向，从而使电磁转矩的方向始终保持不变，并使电动机持续旋转。

脉动的减小上述模型电机，电枢只装有一个线圈，所以电枢感应电动势和电磁转矩的脉动都很大。为了减少脉动，实际上电枢绕组都是由相隔一定角度的许多个线圈串联而成，如图4所示。
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图4. 电枢山装有6个线圈的情况

2、直流电枢绕组

2.1 直流电枢绕组的构成

电枢绕组的构成 组成绕组的基本单元称为元件。一个元件由两条元件边和前、后端接线组成。元件可以是单匝，也可以是多匝。
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元件依次地嵌放在电枢槽内，一条有效边放在槽的上层，另一条放在零一槽的下层，构成双层绕组。

槽和虚槽 多数直流电机中，每槽的上层和下层各包含 $u$ 个元件，这 $u$ 个元件将组成一个线圈。如图所示，此时元件数 $S$ 应为槽数 $Q$ 的 $u$ 倍，即
$S=uQ\tag{3}$
为了便于画出绕组的接线图，通常把一个上层和一个下层元件边在槽内所占的空间作为一个“虚槽”。虚槽数 $Q_u$ 就等于元件数 $S$ 。
由于元件的出现段与换向片相连接，有一个元件即有一个换向片，所以换向片数 $K$ 应当等于元件数 $S$ 。于是，直流电枢绕组的元件数 $S$ 、换向片数 $K$ 和虚槽数 $Q_u$ 三者相等，即
$S=K=Q_u\tag{4}$

第一节距 同一个元件的两条有效边在电枢表面所跨的距离，称为第一节距，也称为线圈节距，用 $y_1$ 表示，如图所示。第一节距通常用所跨的虚槽数来计算，它是一个整体。通常把一个主磁极在电枢表面所跨的距离，称为极距，用 $\tau$ 表示。若 $p$ 为电机的极对数，用虚槽数表示时，极距 $\tau=Q_u/(2p)$ 。为了得到较大的感应电动势和电磁转矩，第一节距 $y_1$ 最好等于或者接近与一个极距，即
$y_1=\frac{Q_u}{2p}\mp\varepsilon\tag{5}$
式中， $\varepsilon$ 为使 $y_1$ 凑成整数的一个小数。若 $y_1=Q_u/(2p)$ ，第一节距恰好等于一个极距，该绕组就称为整距绕组（也称全距绕组）。若第一节距比极距小，该绕组就称为短距绕组。短距绕组的电动势比整距绕组稍小，但有利于换向，对于叠绕组尚能节省部分端部用铜，故常被采用。

合成节距 相串联的两个元件的对应元件边在电枢表明所跨的距离，称为合成节距，用 $y$ 表示。 $y$ 也用虚槽数来计算。元件的连接次序和连接规律就取决于合成节距。

把同一个磁极下的元件依次串联，后一个元件总是“叠”在前一个元件上如图所示，这种连法称为叠绕。另一种连法是，把所有属于同一极性下对应的元件依次串联起来，像波浪一样向前延伸，这种连法称为波绕。波绕时，每连接一个元件，元件的对应边将前进约2个极距，即合成节距 $y\approx Q_u/p$ 。不难看出，波绕和叠绕的差别，主要表现在合成节距上。
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左图：叠绕 ----- 右图：波绕

换向器节距 在换向器表面上，同一个元件的两个出线段所接的两个换向片之间所跨的距离，称为换向器节距，用 $y_c$ 表示。换向器节距应当等于合成节距，即
$y_c=y\tag{6}$

2.2、单叠绕组

合成节距 单叠绕组的连接规律是，所有的相邻元件依次串联，每串联一个元件就向右移动一个虚槽，同时元件的出线端在换向器上向右移动一个换向片，最后形成一个闭合回路。所以单叠绕组的合成节距 $y$ 等于一个虚槽，换向器节距 $y_c$ 等于一个换向片，即
$y=y_c=1\tag{7}$

2.3、单波绕组

合成节距 单波绕组的连接规律是，从某一换向片和虚槽出发，把相隔约为一对极距的同极性磁极下对应位置的元件依次串联起来，沿电枢和换向器绕过一周之后，恰好回到出发换向片和虚槽的前面一片和一槽；然后从此换向片和虚槽出发，继续绕连，直到把全部元件连完，最后回到起始的换向片和虚槽，构成一个闭合回路为止。

3、空载和负载时直流电机的磁场

3.1、空载时直流电机的磁场

直流电机的空载是指电枢电流等于零，或者很小的情况，因此空载时直流电机的磁场由励磁绕组的磁动势单独激励所产生。如图
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3.2、负载时的电枢磁动势和电枢反应

直流电机带上负载时，电枢绕组中就有电流通过，将产生电枢磁动势。负载时电枢磁动势对气隙主磁场的影响称为电枢反应。

交轴电枢磁动势
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在直流电机中，支路电流是通过电刷引入或引出的，因此电刷位置是电枢表面电流分布的分界线。由上图可看出，电枢磁动势的轴线总是与电刷的轴线重合。通常把主极的轴线称为直轴，与直轴正交的轴线称为交轴，所以当电刷位于几何中心线上时，电枢磁动势是一个交轴电枢磁动势。

交轴电枢反应 交轴电枢磁动势将产生交轴气隙磁场，并影响到原来气隙磁场的大小和分布，这种影响称为交轴电枢反应。下面以发电机为例来进行分析交轴电枢反应的性质。
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设电枢逆时针旋转，由右手定则可知，N 极下导体中的感应电动势方向为 $\odot$ ，S 极下方向为 $\otimes$ 。在发电机中，电枢电流与感应电动势的方向一致。不难看出：
（1）在主极 N 极的右半部分，交轴电磁磁场的方向为电枢表面指向主极，对主极磁场起去磁作用；而 N 极的左半部分，对磁场起着增磁作用；由此将引起气隙磁场畸变，使电枢表面磁通密度等于零的位置（称为物理中心线）偏离几何中心线。
（2）不计磁饱和时，交轴电枢磁场对主极磁场的去磁和增磁作用恰好相等，总体上看，交轴电枢反应既无去磁、也无增磁作用。
（3）考虑磁饱和时，增磁边使主极铁心磁导率减小，从而使实际的气隙磁场比不计饱和时略弱；去磁边的实际气隙磁场则与不计饱和时基本一致；即饱和时交轴电枢反应具有一定的去磁作用。

直轴电枢磁动势若电刷从几何中心线移过 $\beta$ 角（相应电枢表面弧长 $b_\beta$ ），则电枢磁动势的轴线也将随之移动 $\beta$ 角，如图。此时，电枢磁动势可分成两个分量：一个分量是由 $\tau-2b_\beta$ 范围内的载流导体所产生的交轴电枢磁动势 $F_{aq}$ ；另一个分量是由 $2b_\beta$ 范围内的载流导体所产生的直轴电枢磁动势 $F_{ad}$ 。
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电刷不在几何中心线上时，电枢磁动势的交流分量和直流分量 a) 电枢磁动势 b) 交轴分量 c) 直轴分量

直轴电枢反应 不难看出，若电机为发电机，电刷顺电枢旋转方向移动 $\beta$ 角，对主极磁场而言，直轴电枢反应是去磁的；若逆旋转方向，则是增磁的。电动机的情况与发电机恰好相反。

4、电枢的感应电动势和电磁转矩

4.1、电枢绕组的感应电动势

电枢旋转，电枢导体切割气隙磁场，电枢绕组中产生感应电动势。设气隙磁场 $b_\delta$ （磁通密度）的分布如图，电刷置于几何中心线。若电枢导体的有效长度为 $l$ ，切割线速度为 $v$ ，则每根导体的感应电动势 $e_c$ 为
$e_c=b_\delta lv\tag{8}$
若总导体数巍峨 $Z_a$ ，每一支路的串联导体数为 $Z_a/2a$ ，则支路电动势 $E_a$ 为
$E_a=\sum_1^{Z_a/2a}b_\delta lv=lv\sum_1^{Z_a/2a}b_\delta\tag{9}$
为了简单，引入平均气隙磁通密度 $B_{av}$ ，即
$B_{av}\approx\frac{1}{Z_a/(2a)}\sum_1^{Z_a/2a}b_\delta(x_i)\tag{10}$
则，式（9）改写为
$E_a=lv\frac{Z_a}{2a}B_{av}\tag{11}$
考虑到线速度 $v=2p\tau\frac{n}{60}$ ，其中 $\tau$ 为极距， $2p\tau$ 为电枢周长，将 $v$ 带入，可得
$E_a=2\frac{pn}{60}\frac{Z_a}{2a}(B_{av}\tau l)=\frac{pZ_a}{60a}n\Phi=C_en\Phi\tag{12}$
其中， $\Phi$ 表示每极的总磁通量， $C_e$ 称为电动势常数。式（12）就是电枢绕组的电动势公式。
式（12）对发电机和电动机都适用。此式表示，电枢电动势 $E_a$ 与每极的气隙磁通量 $\Phi$ 和转速 $n$ 成正比，只要有 $\Phi$ 和 $n$ ，电枢内就有电动势 $E_a$ 。

4.2、电枢的电磁转矩

当电枢绕组通有电流时，电枢的载流导体与气隙磁场相作用，就会产生电磁转矩。
设电刷置放在几何中心线，元件为整距，则所有 N 极下的载流导体其电流均为同方向、同大小，S极下导体的电流为反方向。另外，每个极下的气隙磁场，处 N、S极性不同外，其分布情况也重复。因此，作用在每个极下载流导体上的合成电磁转矩为同方向、同大小。
设导体中的电流为 $i_a$ ，气隙磁通密度为 $b_\delta$ ，电枢外径为 $D_a$ ，则作用在该载流导体上的电磁转矩 $T_e=b_\delta li_a\frac{D_a}{2}\tag{13}$
由于一个极下的载流导体数为 $Z_a/(2p)$ ，故作用在一个极下载流导体上的合成电磁转矩 $T_p$ 为
$T_p=li_a\frac{D_a}{2}\sum_1^{Z_a/(2p)}b_\delta(x_i)=(\frac{Z_a}{2p}B_{av})li_a\frac{D_a}{2}\tag{14}$
作用在整个电枢上的电磁转矩应为 $T_p$ 乘以极数 $2 p$ ，即
$T_e=2pT_p=Z_aB_{av}li_a\frac{D_a}{2}\tag{15}$
考虑到 $\pi D_a=2p\tau,\Phi=B_{av}l\tau$ ，支路电流 $i_a=I_a/(2a)$ ，其中 $I_a$ 为电枢电流，可得
$T_e=Z_aB_{av}l\big(\frac{I_a}{2a}\big)\frac{p\tau}{\pi}=\frac{p}{2\pi}\frac{Z_a}{a}\Phi I_a=C_T\Phi I_a\tag{16}$
式中， $C_T$ 称为转矩常数，式（16）就是直流电机的转矩公式。对发电机和电动机都适用。

5、直流电机的基本方程

在导出电动势和电磁转矩公式的基础上，利用基尔霍夫定律和牛顿定律，即可导出稳态运行时直流电机的电压方程和转矩方程，这两个方程就是直流电机的基本方程。

5.1、电压方程

电压方程 若电机为发电机，此时感应电动势 $E_a$ 必定大于端电压 $U$ ，有
$E_a=U+I_aR+2\Delta U_s\tag{17}$
式中， $R$ 为电枢绕组的电阻； $2\Delta U$ 为正、负一对电刷与换向器之间的接触电压降。
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稳态运行时直流电机的电路图 a) 发电机 b) 电动机

若只做定性分析，式（17）可简化为
$E_a=U+I_aR_a\tag{18}$
若电机为电动机，则端电压 $U$ 必定大于电枢的感应电动势 $E_a$ ，有
$U=E_a+I_aR+2\Delta U_s\tag{19}$
若只做定性分析，式（19）可简化为
$U=E_a+I_aR_a\tag{20}$
式（17）和式（19）对各种励磁方式都适用。

与励磁方式有关的约束 电枢电流 $I_a$ 与线路电流 $I$ 的关系，励磁电压 $U_f$ 与电枢端电压 $U$ 的关系，视励磁绕组接法（励磁方式）的不同而不同。若为他励，则有
$I=I_a\quad U_f与U无关\tag{21}$
若为并励，励磁绕组与电枢并联，有
$U_f=U\tag{22}$

5.2、转矩方程

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直流电机的电磁转矩和外施转矩 a) 发电机 b) 电动机

如图，若转子逆时针旋转，对于直流发电机，电枢电流与电枢电动势为同一方向，于是 N 极 $\odot$ ，S 极 $\otimes$ ，由左手定则，电枢受到一个顺时针的电磁转矩 $T_e$ ，说明，在发电机情况下，电磁转矩是一个与转向相反的制动转矩。若 $T_1$ 为原动机的驱动转矩， $T_0$ 为空载运行电机自身的阻力转矩（空载转矩），则发动机的转矩方程为
$T_1=T_0+T_e\tag{23}$

对于直流电动机，由于电枢电流与感应电动势的方向相反，故电枢逆时针旋转时，N 极下导体的电流为 $\otimes$ ，S 极下为 $\odot$ ，于是电枢受到一个逆时针方向的电磁转矩，这说明，电动机的电磁转矩是一个与转向相同的驱动转矩。若电动机自身空载阻力转矩为 $T_0$ ，轴上输出的驱动转矩为 $T_2$ ，则电动机的转矩方程为
$T_e=T_0+T_2\tag{24}$

5.3、电磁功率

负载运行时，电枢绕组的感应电动势和电枢电流的乘积，称为电磁功率。
$KaTeX parse error: Double subscript at position 9: P_e=E_a_̲_a\tag{25}$
电磁功率就是能量转换过程中电能转换为机械能或相反转换的转换功率。

6、直流发电机的运行特性

6.1、他励发电机的负载运行

负载时，发电机输出功率为 $P_2=UI$ 。为使电气设备正常工作，通常发电机端电压要保持为额定电压 $U_N$ ，于是输出功率 $P_2$ 将与负载电流 $I$ 成正比，因此通常把 $I$ 的大小看作为负载的大小。

6.2、他励发电机的运行特性

他励发电机的运行特性，指端电压 $U$ 、负载电流 $I$ 和励磁电流 $I_f$ 之间的关系。

外特性： $I_f=$ 常值， $U = f (I)$
调整特性： $U =$ 常值， $I_f=f(I)$
负载特性： $I =$ 常值， $U=f(I_f)$

外特性 外特性是一条负载变化时反映输出电压是否稳定的特性。
调整特性 调整特性是一条负载变化时反映励磁调节规律的特性。
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6.3、并励发电机的自励和外特性

并励发电机的自励 并励发电机的励磁绕组与电枢并联，如图。正常工作时，并励发电机的励磁电流由电枢发出的电流来供给。
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外特性

6.4、复励发电机的外特性