6.15实验3问题 B: 最小生成树

题目描述

最小生成树问题是实际生产生活中十分重要的一类问题。假设需要在n个城市之间建立通信联络网，则连通n个城市只需要n-1条线路。这时，自然需要考虑这样一个问题，即如何在最节省经费的前提下建立这个通信网。

可以用连通网来表示n个城市以及n个城市之间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两个城市之间的线路，赋于边的权值表示相应的代价。对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一棵生成树都可以是一个通信网。现在，需要选择一棵生成树，使总的耗费最小。这个问题就是构造连通网的最小代价生成树，简称最小生成树。一棵生成树的代价就是树上各边的代价之和。

而在常用的最小生成树构造算法中，普里姆（Prim）算法是一种非常常用的算法。以下是其算法的大致结构：

在本题中，读入一个无向图的邻接矩阵（即数组表示），建立无向图并按照以上描述中的算法建立最小生成树，并输出最小生成树的代价。

输入

输入的第一行包含一个正整数n，表示图中共有n个顶点。其中n不超过50。

以后的n行中每行有n个用空格隔开的整数，对于第i行的第j个整数，如果不为0，则表示第i个顶点和第j个顶点有直接连接且代价为相应的值，0表示没有直接连接。当i和j相等的时候，保证对应的整数为0。

输入保证邻接矩阵为对称矩阵，即输入的图一定是无向图，且保证图中只有一个连通分量。

输出

只有一个整数，即最小生成树的总代价。请注意行尾输出换行。
样例输入复制
4 0 2 4 0 2 0 3 5 4 3 0 1 0 5 1 0 
样例输出复制
6 
提示

在本题中，需要掌握图的深度优先遍历的方法，并需要掌握无向图的连通性问题的本质。通过求出无向图的连通分量和对应的生成树，应该能够对图的连通性建立更加直观和清晰的概念。

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int MAXN = 50 + 5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n;
int g[MAXN][MAXN]; // 存储图的邻接矩阵
bool vis[MAXN]; // 标记每个点是否已经加入到树中
int d[MAXN]; // 记录每个点到树的距离

int prim() {
    memset(vis, false, sizeof(vis)); // 初始化
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        d[i] = INF;
    }
    d[0] = 0; // 从任意一个点出发都可以
    int res = 0; // MST的总权值
    for (int i = 0; i < n; i++) { // 每次循环加入一个新点到树中
        int u = -1; // 找到d最小的点u
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (!vis[j] && (u == -1 || d[j] < d[u])) {
                u = j;
            }
        }
        vis[u] = true; // 将u加入到MST中
        res += d[u]; // 累计总权值
        for (int v = 0; v < n; v++) { // 更新d值
            if (!vis[v] && g[u][v] != 0 && g[u][v] < d[v]) {
                d[v] = g[u][v];
            }
        }
    }
    return res;
}

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) { // 读入邻接矩阵
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            cin >> g[i][j];
        }
    }
    cout << prim() << endl; // 输出最小生成树的权值
    return 0;
}

Prim算法的基本思路是从一个点出发不断扩展，将距离树最近的点加入到树中，直到所有点都被加入到树中为止。在每次扩展时，都找到距离树最近的点u，将其加入到树中，并更新其他点到树的距离d。最终，所有的点都被加入到树中，Prim算法就结束了。因为Prim算法要对每个点进行一次扩展，所以总时间复杂度为O(n^2)。

6.15实验3问题 B: 最小生成树

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