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2.5 检测基础
对于要测试目标是否存在的雷达测量，可以假定下列两个假设之一为真：
•H0:—测量结果仅为噪声。
•H1:—测量是噪声和目标回波的综合结果。
雷达系统的检测逻辑检查每个测量，并选择一个假设作为测量的最佳计量。如果选择H0，则系统声明测量完全来自噪声，目标不存在。另一方面，如果选择H1，雷达系统声明目标存在。
概率密度函数(pdf)可以用来分析信号。两个概率密度函数, py (y|H0)和py (y|H1)，分别定义了H0和H1假设。y为待测的测量样本。py (y|H 0)是目标不存在时y的概率密度函数, py (y|H1)是目标存在时y的概率密度函数。根据这两个概率密度函数，可以定义以下概率:
•探测概率(PD):当目标实际存在时，雷达系统宣称探测到目标的概率(选择H1)。
•虚警概率(PFA):雷达系统宣称探测到目标(选择H1)，而目标实际上并不存在的概率。
为了进一步讨论如何使用PD和PFA来表征雷达系统，考虑雷达系统的噪声为白噪声，py (y|H0)为正态分布。另外，考虑目标为非起伏，因此py (y| H1)也是正态分布，因为H1是噪声与目标回波的组合。
(2.80)
(2.81)
这里
和
分别是假设H0和H1的平均幅度。
和
分别是H0和H1的方差。所以，概率密度函数为：
(2.82)
(2.83)
图2.16画了这两个概率密度函数，py (y|H0)和py (y|H1)。在雷达系统中，更常用的是使用Neyman-Pearson准则，在虚警概率PFA不超过一个常数的约束下，选择一个阈值T使检测概率PD最大化。如图2.16所示，PFA为py (y|H0)(蓝色阴影)中阈值T以上的面积，可通过下式计算：
(2.84)
PD为py (y|H1)(红色阴影)中阈值T以上的面积：
(2.85)
图2.16 假设H0和H1的概率密度函数
需要注意的是，只要选择阈值T，PFA就保持不变。然而，PD随信噪比SNR而变化，图2.16中信噪比为
。PD随信噪比的增加而增加，如图2.17所示，其中PFA=1×10-6。相干处理意味着考虑相位信息，而非相干处理则抛弃相位信息。图2.18显示了信噪比为10 dB时的PD与PFA图。
图2.17 检测概率和SNR关系，PFA=1×10-6
图2.18 检测概率和虚警概率关系，SNR=10dB
2.5.1 相干和非相干积累
积累是雷达信号处理中提高信噪比的常用技术之一。相干积累和非相干积累都有广泛的应用。相干积累是指对复数数据的积累，非相干积累是指仅基于数据大小的积累。从图2.17和图2.18可以看出，即使不做积累，在处理中丢弃相位也会有少量的信噪比损失。
相干积累有利于提高信噪比。然而，它也需要更多的处理，因为它需要处理复数数据。假设雷达从目标的回波接收到测量值
，其中A是幅度，ϕ是相位，ω是功率为σ2的加性噪声。信噪比定义为
(2.86)
假设测量已经进行了N次，则可能有N个通道进行相同的测量或重复测量N次。对于重复的测量数据，期望回波响应是相同的，但每次的噪声是独立的。因此，所有的测量结果都可以添加相位信息。
(2.87)
积累信号部分的功率是N2 *A2。对于独立噪声部分，总噪声功率为单个噪声功率之和，即N* σ2。综合信噪比为：
(2.88)
积累次数N也称为相干积累增益。对于相干积累，假设信号部分的相位在多次测量中保持相同。然而，在现实中并不总是如此。大多数情况下，需要对信号进行预处理，使每次测量的相位一致。这个过程还需要额外的相干积累计算。当PFA = 1 * 10 -6时，PD与信噪比、积累N之间的关系如图2.19所示。
图2.19 PFA = 1 * 10 -6时PD与相干积累信噪比之间的关系
考虑一个非起伏目标的非相干积累，也被称为“Swerling 0”或“Swerling V”目标，具有高斯白噪声ω。为简单起见，假设ω的总功率为1。假设H0下，目标不存在，y的概率密度函数y=|ω|遵循瑞利分布。
(2.89)
假设H1下，
是一个莱斯分布：
(2.90)
这里
是0阶第一类修正贝塞尔函数。
通过对N(N> 1)个样本进行非相干积累，得到H0假设下的概率分布为爱尔朗分布。
(2.91)
假设H1下的概率密度函数为：
(2.92)
这里
被用作一个平方律检测器。
这些方程式的详细推导不在本章中列出，因为它超出了本书的范围。为了更好地理解非相干积累，图2.20和图2.21提供了非相干积累效果的简单说明。在图2.20和图2.21中，未积累的原始信噪比均为4 (6 dB)。图2.20和图2.21分别是N= 2, N= 10的情况。为了计算积累后的信噪比，需要计算所有概率密度分布的均值。对于(2.91)中的爱尔朗分布，均值为μH0 = N。对于式(2.93)中的分布，可以通过数值方法计算求得均值：
(2.93)
图2.20 2个测量的非相干积累的H0和H1的概率密度函数
图2.21 10个测量的非相干积累的H0和H1的概率密度函数
对于图2.20中N=2，
，
，
(2.94)
对于图2.21中的例子，N=10，
，
(2.95)
因此，非相干积累实际上不能提高信噪比。
现在考虑不同N值的PFA。基于PFA和(2.91)很难解析导出阈值T。更简单的方法是用数值方法计算p y ‘ (y ‘|H 0)的积分，如下所示:
(2.96)
图2.22显示了N= 2和N= 10时PFA与归一化阈值T’的关系。阈值被归一化为(2.89)中概率密度函数的平均值，以便更好地进行比较。对于N= 2, T’= 5.9得到10 -4，另一方面，为了得到相同的PFA，在N= 10的情况下T’ = 2.6。因此，对于非相干积累，通过降低某些PFA的阈值来实现有效增益。换句话说，通过更多的积累，可以用更低的阈值实现相同的PFA，并且要检测的目标所需的最小信噪比也降低了。
图2.22 不同积累数值下PFA和归一化阈值关系
之前的分析只考虑了非起伏性目标，即“Swerling 0”或“Swerling V”的情况。更现实的情况是上面提到的起伏目标，包括“Swerling I、II、III和IV”模型。用于起伏目标的概率密度函数的推导超出了本书的范围。
流行的信号处理工具，如MATLAB®，具有方便的功能来进行这种分析。图2.23和2.24显示了在PFA = 1 * 10 -6条件下，Swerling I、II、III、IV和V模型的PD与非相干积累信噪比的关系。(表2.6)
图2.23 PFA = 1 * 10 -6时PD与非相干积累信噪比的关系
图2.24 PFA = 1 * 10 -6时PD与非相干积累信噪比的关系
2.5.2确定检测概率和虚警概率的最小信噪比
在前面的内容中已经讨论了PD和PFA的关系。对于一定的PFA，可以由py’ (y’|H0)得到一个阈值，该阈值为无目标回波噪声的概率密度函数(PDF)。另一个阈值也可以由p y’ (y’|H1)得到，它是基于一定PD的带噪声的目标回波PDF值，通常这两个阈值是分开的，它们的差值随着信噪比的降低而减小。在一定信噪比下，这两个阈值彼此相等。该信噪比是满足预定义的PD和PFA所需的最小信噪比。在积累的情况下，积累后的最小信噪比之差等于积累增益。表2.6给出了不同目标模型和积累类型下，PFA = 10 -4和PD = 0.5所需的最小信噪比。
对于汽车雷达应用，最小信噪比对于评估雷达的探测能力或灵敏度非常有用。例如，在紧急制动系统中使用雷达，需要在R0距离内检测到PD = 0.5和PFA = 10-4的行人。行人通常被归类为“Swerling I”目标，其典型RCS约为-10dBsm。由表2.6可知，所需的最小信噪比为10.89 dB。因此，对于-10dBsm的目标，雷达需要设计成在R0距离内具有至少10.89dB的信噪比。如果设计的雷达在处理过程中非相干积累了8个通道，则所需的最小信噪比可以放宽到4.35 dB。信噪比差10.89 ~ 4.35 = 6.54 dB为Swerling I目标的非相干积累增益。
表2.6 PFA = 1 * 10 -4，PD=0.5的最小信噪比
2.5.3恒虚警率检测
如上所述，标准雷达阈值检测假设接收机上的噪声水平已知且稳定。因此，可以获得准确的阈值，以保证指定的PFA。然而，在现实世界中，噪声水平随多种因素而变化，包括环境、温度和组件老化。雷达系统需要从测量值中估计噪声级，并在此基础上导出阈值。温度补偿和周期性重新校准可以部分解决噪声功率变化的问题;然而，这些方法在汽车应用的大批量生产中并不实用。此外，汽车雷达经常暴露在复杂的电磁环境中，受到周围车辆雷达的干扰。强干扰会显著提高噪声功率。因此，汽车雷达噪声功率的自适应计算一直是必要的。
恒定虚警率(CFAR)检测，也称为“自适应阈值检测”或“自动检测”，是一组旨在在现实噪声场景中提供可预测的检测和虚警行为的技术。对于CFAR检测，必须实时从数据中估计实际噪声功率，以便调整检测器阈值以保持理想的PFA。从简单到复杂的各种CFAR算法已被报道。为了提供对CFAR检测的基本印象，本节将简要讨论两种基本的CFAR算法，即单元平均CFAR (CA- CFAR)和有序统计CFAR (OS- CFAR)。
2.5.3.1 CA-CFAR
CA-CFAR是最基本的CFAR算法之一。它也被用作其他CFAR技术的基线比较。图2.25给出了一维CA-CFAR的滑动窗口处理结构，也可以在二维距离多普勒图像中进行计算，如图2.26所示。噪声样本从被测单元(CUT)周围的先导单元和滞后单元(训练单元)中提取。保护单元被放置在CUT附近。这些保护单元的目的是为了避免信号成分泄漏到训练单元中，从而对噪声估计产生不利影响。噪声功率Pn可计算为
(2.97)
其中M是训练单元的个数，ym是第M个训练单元的功率。训练单元和保护单元的数量可以根据需要进行调整。阈值T由下式给出
(2.98)
其中，比例因子α称为阈值因子。α的值根据期望虚警率PFA和(2.96)计算。如果没有脉冲积累，可以通过下式获得:
(2.99)
图2.25 一维CA-CFAR处理
图2.26 二维CA-CFAR处理
图2.27为FMCW雷达中CA- CFAR的工作原理。试验中有两个95米和30米的目标。CA- CFAR使用两个保护单元和10个尾随单元，PFA = 10-2。从图2.27可以看出，CA- CFAR阈值在目标峰值附近有很高的肩部，这意味着除了大目标之外，更小的目标会被阈值所掩盖。因此，CA- CFAR需要假设目标需要被隔离，并且目标需要被隔离得足够远，以便它们不会被其他目标的肩膀掩盖。CA- CFAR的另一个假设是训练单元的噪声是独立且均匀分布的。
图2.27 CA-CFAR和OS-CFAR表现示例
由于CA- CFAR的性能限制，导致了对CA- CFAR的许多扩展，如最小单元平均CFAR和较大单元平均CFAR。
2.5.3.2 OS-CFAR
OS- CFAR是CFAR阈值的另一种基于范围的方法。OS- CFAR使用与CA- CFAR类似的一维或二维滑动窗口结构，如图2.25和2.26所示。必要时可以使用保护单元。与CA-CFAR不同，OS- CFAR对训练单元中的数据样本[y 1, y 2，…，yM]进行排序形成一个新的升序序列，表示为[y (1)，y(2)，…，y(M)]。然后，选择有序列表中的第k个元素作为噪声级的代表，并设置一个阈值为该值的倍数:
(2.100)
αOS的计算参见文献[29]。噪声仅从一个数据样本中估计，而不是所有数据样本的平均值。然而，由于使用的样本是基于所有数据样本确定的，因此阈值实际上利用了所有样本的信息。
图2.27为FMCW雷达中OS- CFAR的工作原理;M= 20, k = 15, PFA= 10-2。可以看出，OS- CFAR在目标峰周围没有高的肩膀。OS- CFAR的主要缺点是执行排序算法需要较高的处理能力，而且这种处理能力必须在雷达信号处理的实时部分提供。