【Matlab】如何将二阶线性微分方程进行Laplace变换得到传递函数

前言

二阶线性微分方程:
一个二阶线性微分方程通常可以写成如下形式:
$$y^{\prime \prime }(t)+p(t)y^{\prime }(t)+q(t)y(t)=f(t)$$

其中， $y(t)$ 是未知函数， $y^{\prime }(t)$ 和 $y^{\prime \prime }(t)$ 分别是它的一阶和二阶导数。 $p(t)、q(t)$ 和 $f(t)$ 是给定的函数，它们分别表示一阶导数的系数、二阶导数的系数和非齐次项。这是一个线性微分方程，因为未知函数及其导数的次数最高为 1 。

解决这种微分方程的目标是找到一个函数 $y(t)$ 满足方程，并且满足一些初值或边界条件。

传递函数:
传递函数是一个表示线性时不变系统输入和输出关系的数学表达式。对于一个线性时不变系统，输入信号 $u(t)$ 和输出信号 $y(t)$ 之间的关系可以通过传递函数 $H(s)$ 描述，其中 $s$ 是复变量。传递函数通常表示为:
$$H(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}$$

其中， $Y(s)$ 是输出信号的 Laplace 变换， $U(s)$ 是输入信号的 Laplace 变换。传递函数描述了系统对不同频率的输入信号的响应。

在频域中，传递函数可以分解为幅度和相位。这使得传递函数成为分析和设计线性时不变系统的有力工具。

在控制工程和信号处理领域，传递函数通常用于分析系统的稳定性、响应特性以及进行控制器设计。

正文

对于给定的二阶微分方程:
$$y^{\prime \prime }(t)+\left(1+t^2\right)y^{\prime }(t)+e^{t}y(t)=\sin (t)$$
将二阶线性微分方程转化为传递函数通常需要进行 Laplace 变换。假设输入信号是 $u(t)$ ，输出信号是 $y(t)$ ，二阶微分方程可以表示为:
$$y^{\prime \prime }(t)+\left(1+t^2\right)y^{\prime }(t)+e^{t}y(t)=\sin (t)$$

首先，我们对整个方程进行 Laplace 变换:
L { y ′ ′ ( t ) } + ( 1 + t 2 ) L { y ′ ( t ) } + e t L { y ( t ) } = L { sin ⁡ ( t ) } \mathcal{L}\left\{y^{\prime \prime}(t)\right\}+\left(1+t^2\right) \mathcal{L}\left\{y^{\prime}(t)\right\}+e^t \mathcal{L}\{y(t)\}=\mathcal{L}\{\sin (t)\} L{ y′′(t)}+(1+t2)L{ y′(t)}+etL{ y(t)}=L{ sin(t)}

在 Laplace 变换中，导数的变换规则为:
L { y ′ ( t ) } = s Y ( s ) − y ( 0 ) L { y ′ ′ ( t ) } = s 2 Y ( s ) − s y ( 0 ) − y ′ ( 0 ) \begin{aligned} & \mathcal{L}\left\{y^{\prime}(t)\right\}=s Y(s)-y(0) \\ & \mathcal{L}\left\{y^{\prime \prime}(t)\right\}=s^2 Y(s)-s y(0)-y^{\prime}(0) \end{aligned} ​L{ y′(t)}=sY(s)−y(0)L{ y′′(t)}=s2Y(s)−sy(0)−y′(0)​

其中， $Y(s)$ 是输出信号 $y(t)$ 的 Laplace 变换。
代入这些变换，我们得到:
$$s^{2}Y(s)-sy(0)-y^{\prime }(0)+\left(1+t^2\right)(sY(s)-y(0))+e^{t}Y(s)=\frac{1}{s^2+1}$$

整理上述方程，得到传递函数的形式:
$$\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^2+1+\left(1+t^2\right)s+e^t}$$

其中， $U(s)$ 是输入信号 $u(t)$ 的 Laplace 变换。

因此，通过 Laplace 变换，得到传递函数:
$$H(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^2+1+\left(1+t^2\right)s+e^t}$$

这里 $Y(s)$ 是输出信号 $y(t)$ 的 Laplace 变换， $U(s)$ 是输入信号 $u(t)$ 的 Laplace 变换。

由于涉及到非常数的系数 $t$ ，所以传递函数也包含 $t$ 。在 MATLAB 中，通过 'ilaplace’函数进行逆变换，可以得到一个包含 $t$ 的表达式。

上述 MATLAB 代码示例中，使用 'ilaplace - 函数逆变换，得到的传递函数 $H(t)$ 将包含 $t$ ，具体的表达式将在 MATLAB 中显示。因此，您可以运行上述代码，查看输出结果。

代码实现

syms s t

% 定义 Laplace 变换
Y = laplace('D2y + (1 + t^2)*Dy + exp(t)*y - sin(t)', t, s);

% 逆变换得到传递函数
H = ilaplace(1 / (s^2 + 1 + (1 + t^2)*s + exp(t)), s, t);

% 显示传递函数
disp('传递函数:');
disp(H);