作者:桂。
时间:2018-06-27 06:22:47
链接:https://www.cnblogs.com/xingshansi/p/9232042.html
接上文:概率论01
以下推理的基础是:切比雪夫不等式,且都要符合独立同分布。 而切比雪夫不等式的前提是:不同变量具有独立的分布即可。
第五章
1- 大数定律(Law of Large Numbers,LLN)
1)随机变量X1,X2,....相互独立
2)服从同一分布
3)数学期望E(Xk) = mu,k = 1,2,...
则有:
证明:
借助切比雪夫不等式:
P{|x-mu| >= epsilon} <= sigma^2/epsilon^2
假设方差存在,求解方差sigma^2:
【同一分布 + 独立性,才有该性质】
得出:
n->∞,夹逼准则:
大数定律:1)独立同分布;2)具有均值mu,在1)2)条件满足的情况下,随机变量样本数n很大时,他们的算术平均值非常接近期望【依概率收敛】。 大数定律理论上证明了该常识。
2- 伯努利大数定律(Bernoulli’s Law of Large Numbers)
对于n重伯努利试验,事件A的频率依概率收敛于其概率。 伯努利大数定律为
该问题针对的是n重伯努利试验
证明:
可知mu = np,又fA是事件A发生的次数
fA = X1 + X2 +...
则fA/n = ,期望为p,借助大数定律:
3- 中心极限定理(The Central Limit Theorem (CLT))
中心极限定理:客观实际通常是大量的相互独立的随机因素的综合影响,其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的,这种随机变量往往近似服从正态分布,这种现象就是中心极限定理的客观背景。
3.1- 中心极限定理
1)独立同分布;2)均值、方差存在,则对于:
其分布函数为正态分布:
证明:
?
理论细节可参考附件1。
3.2- 李雅普诺夫(Lyapunov)定理
3.3- 棣莫弗-拉普拉斯定理(De Moivre-Laplace)